Problemler, matematikte konu bilgisinin değil düşünme alışkanlığının sınandığı yerdir. Denklem çözmeyi bilen ama denklemi kuramayan öğrenci problemde takılır. Yaş, işçi, havuz, hareket, yüzde ve kâr-zarar problemlerinin hepsi aynı beceriyi ister: metni matematiğe çevirmek.
Bu yazıda bir problemi okuma, modelleme, çözme ve kontrol etme adımlarını, her adımda sık yapılan hataları ve haftalık pratik planını bulacaksın. Adımları baştan sona bir yaş problemi üzerinde de göreceksin.
Problemi iki kez oku
İlk okuma hikâyeyi anlamak için, ikinci okuma veriyi çıkarmak içindir. Çoğu yanlış, tek okumayla hemen denkleme koşmaktan gelir. İkinci okumada bilinenleri ve istenen şeyi ayrı ayrı yaz. İstenen şey çoğu zaman soru cümlesinin sonundadır ve öğrenci onu değil ara değeri bulup işaretler.
Sayıları ve ilişkileri metinden ayırırken dikkatli ol: fazlası, katı, kadar, eksiği gibi ifadeler farklı işlemler ister. Beş fazlası ile beş katı arasındaki fark, sorunun tamamını değiştirir. Örnek: Ali'nin yaşı Ayşe'nin yaşının üç katıdır; dört yıl sonra Ali'nin yaşı Ayşe'nin yaşının iki katı olacaktır. Ali kaç yaşındadır? İkinci okumada şunları ayır: bilinenler iki oran ve dört yıllık süre, istenen Ali'nin bugünkü yaşı, Ayşe'nin yaşı değil.
- Bilinenler: metinde verilen sayılar ve ilişkiler.
- İstenen: soru cümlesinin tam olarak ne sorduğu.
- Gizli bilgi: metinde söylenmeyen ama bilinmesi gereken kural (bir günün saat sayısı, yüzdenin tabanı).
Modelle: şekil, tablo, değişken
Veri çıkarıldıktan sonra doğrudan denkleme geçme; önce modelle. Hareket problemi için yol çizgisi, karışım için tablo, yaş için iki sütunlu tablo, işçi problemi için birim iş miktarı. Model, ilişkiyi göze getirir ve denklemi neredeyse kendiliğinden yazdırır.
Değişken seçimi kritiktir. En az bilinen şeyi değil, diğerlerinin kolayca ifade edildiği şeyi değişken seç. Örnekte Ayşe'nin yaşına x dersen Ali'nin yaşı 3x olur; iki sütunlu tabloya bugün için x ve 3x, dört yıl sonrası için x+4 ve 3x+4 yazılır. Ali'nin yaşını x seçseydin Ayşe'nin yaşı x/3 olurdu ve kesirli işlem hata kapısını açardı. Fazla değişken, fazla denklem ve fazla hata demektir.
Problem çözülmüyorsa büyük ihtimalle model eksik ya da yanlış kurulmuştur. Denklemi zorlamak yerine şekle ya da tabloya geri dön.
Denklemi kur ve çöz
Model kurulduktan sonra denklem, metindeki bir cümlenin çevirisidir. Toplamları şuna eşittir cümlesi bir denklemdir; farkı şudur cümlesi bir başka denklem. Örnekte dört yıl sonra iki katı olacak cümlesi tablodan doğrudan okunur: 3x+4 = 2(x+4). Her denklemin hangi cümleden geldiğini bilerek yaz. Bu alışkanlık, çözüm yanlış çıktığında hatayı bulmayı kolaylaştırır.
Çözerken işlemleri atlamadan yap: 3x+4 = 2x+8, buradan x = 4 ve Ali 12 yaşında. Zihinden yapılan ara adımlar, işaret ve payda hatalarının kaynağıdır. Sınavda hız kazanmak için işlem atlamak değil, model kurmayı hızlandırmak gerekir.
Sonucu kontrol et
Bulduğun sayıyı probleme geri koy. Örnekte Ayşe 4, Ali 12; dört yıl sonra 8 ve 16, gerçekten iki katı. Yaş problemi negatif çıkıyorsa, havuz sıfır saatte doluyorsa, yüzde yüzü aşıyorsa bir yerde hata var. Kontrol, çözümün en ucuz adımıdır ve en çok atlanan adımıdır.
Bir de istenen şeyle bulduğun şeyi karşılaştır. Örnekte x = 4 bulup 4'ü işaretlemek en klasik hatadır; soru Ali'nin yaşını sormuştu. Şıklar arasında ara değerlerin bulunması tesadüf değildir; bu tuzak bilerek kurulur.
- 1Sonucu problemin ilk cümlesine geri yerleştir, mantıklı mı diye bak.
- 2Soru cümlesini tekrar oku; istenen bu mu?
- 3Birimleri kontrol et: saat mi dakika mı, lira mı kuruş mu?
Problem türlerine göre yaklaşım
Her problem türünün kendine ait bir modeli vardır ve o modeli bir kez öğrenmek onlarca soruyu açar. Hareket problemlerinde yol, hız ile zamanın çarpımıdır; iki araç aynı yönde gidiyorsa hızların farkı, zıt yönde gidiyorsa toplamı işe yarar. İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş düşünülür: havuzu altı saatte dolduran musluk, bir saatte havuzun altıda birini doldurur. Karışım problemlerinde madde miktarı ile toplam miktar ayrı sütunlarda tutulur.
Yüzde ve kâr-zarar problemlerinde tabanı doğru seçmek her şeydir: yüzde neyin yüzdesi? Alış fiyatı mı, satış fiyatı mı? Aksi söylenmedikçe kâr yüzdesi alış fiyatı üzerinden hesaplanır; satış fiyatı üzerinden hesaplamak en sık yapılan hatadır. Bu soruyu her problemde açıkça sor.
Pratik planı
Problemde ilerleme, çok soru çözmekle değil, çözümü sonra analiz etmekle gelir. Her yanlışta sorunun hangi adımda kırıldığını yaz: okuma, model, denklem, işlem, kontrol. Bir hafta sonunda tablo, zayıf adımı gösterir. Yanlışların çoğu okuma sütununda toplanıyorsa çözüm daha çok soru değil, daha yavaş bir ikinci okumadır.
Türleri karışık çalış. Yalnızca hareket problemi çözerek geçen bir hafta, o hafta hareketi öğretir ama sınavda türü tanımayı öğretmez. Sınav soruları karışık gelir; pratik de karışık olmalı. Basit bir haftalık düzen: ilk üç gün her gün on karışık problem ve her yanlışa adım etiketi; dördüncü gün yalnızca en zayıf adımı çalıştıran sorular; beşinci gün yeniden karışık bir set; hafta sonu yanlış defterine dönüp aynı soruları bir kez daha çöz.
kitapok'ta nasıl uygularsın
kitapok'ta problem türlerinin modellerini Konu Özetleri Havuzu'ndaki matematik özetlerinden çalışıp soru bankalarında karışık test çözebilirsin; bankaların bir kısmı üyeliksiz açık. Yanlış yaptığın sorular yanlış defterinde birikir; hafta sonu deftere dönüp her yanlışın hangi adımda kırıldığını kendin etiketle. Sık karıştırdığın modelleri, örneğin karışım tablosunu ya da işçi problemindeki birim işi, yanlış defterinden akıl kartı ürettir; kartlar 1-3-7-16 gün aralıklarıyla karşına gelir ve model unutulmadan tazelenir.
Problem çözKarışık problem testleri çöz; bankaların bir kısmı üyeliksiz açık, yanlışların deftere düşsün.Matematik konu özetleriProblem türlerinin modelleri; bölümler kaynağındaki zaman ya da sayfa damgasıyla kaynağa bağlı.KPSS sayfasıGenel yetenek matematiği için özetler ve soru bankaları.