Analitik Geometriye Giriş

00:05Analitik Geometriye Giriş ve Bölgeler

Analitik geometri, iki videoda tamamlanacak son konudur.
Analitik geometri, ÖSYM tarafından mutlaka soru sorulan bir konudur.
Analitik düzlemde bölgeler, x ve y eksenlerinin işaretlerine göre belirlenir.
I. Bölgede x > 0 ve y > 0'dır.
II. Bölgede x < 0 ve y > 0'dır.
III. Bölgede x < 0 ve y < 0'dır.
IV. Bölgede x > 0 ve y < 0'dır.
x ekseni (apsis), y ekseni (ordinat) olarak adlandırılır.
x ve y eksenlerinin kesiştiği O noktasına orijin denir.
Orijin, (0,0) noktasıdır.

02:02Düzlemde Noktaların Koordinatları

Düzlemdeki bir noktanın koordinatları (x, y) ikilisiyle ifade edilir.
Önce x değeri, sonra y değeri yazılır.
Analitik geometride üçgen bilgisi kullanılır; üçgen bilgisi düzleme aktarılır.
Örnek noktalar: A(4, 2), B(-3, 4), C(-4, -5), D(3, -3).

02:544. Bölgede Nokta Örneği

Bir A(k-5, k-8) noktası koordinat düzleminin 4. bölgesinde ise k'nın alabileceği tam sayı değerleri bulunur.
4. bölgede x pozitif (x > 0) ve y negatif (y < 0) olmalıdır.
k-5 > 0 ise k > 5 olur.
k-8 < 0 ise k < 8 olur.
Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde 5 < k < 8 elde edilir.
k'nın alabileceği tam sayı değerleri 6 ve 7'dir.
Toplamda 2 farklı tam sayı değeri vardır.

Tahtadaki formüller

$k-5 > 0$
$k > 5$
$k-8 < 0$
$k < 8$
$5 < k < 8$

03:57İki Nokta Arasındaki Uzaklık

İki nokta arasındaki uzaklık Pisagor teoreminin analitik düzleme aktarılmış halidir.
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| ile gösterilir.
Uzaklık formülü, x değerlerinin farkının karesi ile y değerlerinin farkının karesinin toplamının kareköküdür.
x'leri çıkar, karesini al; y'leri çıkar, karesini al ve karekökünü al.

Tahtadaki formüller

|AB| $= \sqrt{(y2 - y1)² + (x2 - x1)²}$

04:58İki Nokta Arasındaki Uzaklık Örneği

Analitik düzlemde A(a, -7) ve B(4, 8) noktaları arasındaki uzaklık |AB| = 17 birim olarak verilmiştir.
a'nın pozitif değeri istenmektedir.
Uzaklık formülü kullanılarak (a-4)² + (-7-8)² = 17² denklemi kurulur.
(-7-8)² = (-15)² = 225 olur.
(a-4)² + 225 = 289 denklemi elde edilir.
(a-4)² = 64 bulunur.
a-4 = 8 veya a-4 = -8 olabilir.
a = 12 veya a = -4 bulunur.
a'nın pozitif değeri 12'dir.
8-15-17 özel üçgeni kullanılarak da çözüm yapılabilir.

Tahtadaki formüller

|AB| $= \sqrt{(a-4)² + (-7-8)²} = 17$
$(a-4)² + (-15)² = 17²$
$(a-4)² + 225 = 289$
$(a-4)² = 64$
$a-4 = 8$
$a = 12$
$a-4 = -8$
$a = -4$

12:00Dikdörtgenin D Köşesinin Koordinatları Çarpımı

Öklid bağıntısı kullanılarak K değeri 2 bulunur.
D köşesinin koordinatları (-2, 0) olarak belirlenir.
Dikdörtgenin karşılıklı köşelerinin x ve y koordinatları toplamı eşittir.
D köşesinin x ve y koordinatları çarpımı -24 olarak bulunur.

Tahtadaki formüller

$9^2 = 3k => k=27$
(-2, 0)
$x1+x3 = x2+x4$
$y1+y3 = y2+y4$
x*y $= -24$

Önemli: Bu soru sınav formatında bir sorudur. Öklid bağıntısı ve karşılıklı köşelerin koordinatları toplamı eşitliği kritik bilgilerdir.

12:33C Noktasının Koordinatları Toplamı

A(-2, 7) ve B(4, 4) noktaları verilir.
AC = 2|BC| bağıntısı ile C noktası AB doğru parçası üzerinde yer alır ve AC uzunluğu BC uzunluğunun 2 katıdır, yani AC=2k, BC=k.
x koordinatları için -2'den 4'e 6 birim artış 3k'ya karşılık gelir, bu da her k için 2 birim artış demektir.
C noktasının x koordinatı -2 + 2k = -2 + 2(2) = 2 olarak bulunur.
y koordinatları için 7'den 4'e 3 birim azalış 3k'ya karşılık gelir, bu da her k için 1 birim azalış demektir.
C noktasının y koordinatı 7 - 2k = 7 - 2(1) = 5 olarak bulunur.
C noktasının koordinatları (2, 5) olduğundan, koordinatları toplamı 2 + 5 = 7'dir.

Tahtadaki formüller

A(-2, 7)
B(4, 4)
AC = 2|BC|
C(x, y)
x için: $3k = 6 => k = 2$
$x = -2 + 2k = -2 + 2(2) = 2$
y için: $3k = 3 => k = 1$
$y = 7 - 2k = 7 - 2(1) = 5$
$x + y = 2 + 5 = 7$

Önemli: Doğru parçası üzerindeki bir noktanın koordinatlarını oran kullanarak bulma yöntemi önemlidir.

16:38Üçgenin Ağırlık Merkezi

Üçgenin ağırlık merkezi, kenarortayların kesişim noktasıdır.
Ağırlık merkezi, kenara 1 birim, köşeye 2 birim uzaklıktadır.
Ağırlık merkezinin koordinatları, köşelerin x koordinatları toplamının 3'e bölümü ve y koordinatları toplamının 3'e bölümü ile bulunur.

Tahtadaki formüller

$G(x, y) = (x1 + x2 + x3) / 3$
$G(x, y) = (y1 + y2 + y3) / 3$

Önemli: Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulma formülü temeldir.

17:38AOB Dik Üçgeninin Ağırlık Merkezinin Koordinatları Toplamı

A(3, 9) noktası ve O(0, 0) noktası verilmiştir.
B noktası (x, 0) şeklindedir.
A noktasından x eksenine dik inilerek öklid bağıntısı kullanılır.
Dik inilen noktanın x koordinatı 3, y koordinatı 9'dur.
Öklid bağıntısı ( $9^2$ = 3 * k) ile k = 27 bulunur.
B noktasının x koordinatı 3 + 27 = 30 olur, yani B(30, 0).
Ağırlık merkezinin x koordinatı (3 + 0 + 30) / 3 = 11'dir.
Ağırlık merkezinin y koordinatı (9 + 0 + 0) / 3 = 3'tür.
Ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11 + 3 = 14'tür.

Tahtadaki formüller

A(3, 9)
O(0, 0)
B(x, 0)
$9^2 = 3 * k => k = 27$
$x = 3 + 27 = 30$
G(x, y)
$x = (3 + 0 + 30) / 3 = 11$
$y = (9 + 0 + 0) / 3 = 3$
$x + y = 11 + 3 = 14$

Önemli: Dik üçgende öklid bağıntısı ve ağırlık merkezi formülünün birlikte kullanılması önemlidir.

20:18Üçgenin Alanı

Üçgenin köşeleri A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) olarak verilirse, alan determinant yöntemiyle bulunur.
Koordinatlar alt alta yazılır ve ilk koordinat tekrar en alta yazılır.
Çapraz çarpımlar yapılır ve sağa doğru olan çarpımlar toplanır, sola doğru olan çarpımlar toplanır.
Sağa doğru çarpımların toplamından sola doğru çarpımların toplamı çıkarılır ve sonucun mutlak değeri 2'ye bölünür.

Tahtadaki formüller

Alan $= 1/2 | (x1y2 + x2y3 + x3y1) - (y1x2 + y2x3 + y3x1) |$

Önemli: Üçgenin koordinatları bilindiğinde alanını hızlıca bulmak için determinant yöntemi pratik bir yoldur.

22:43Eğim

Eğim, bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır.
İki nokta A(x1, y1) ve B(x2, y2) verildiğinde eğim (m) y'lerin farkının x'lerin farkına oranıdır.
Sıralama önemlidir; y2-y1 yapılıyorsa x2-x1 yapılmalıdır.

Tahtadaki formüller

$m = (y2 - y1) / (x2 - x1)$
$m = (y1 - y2) / (x1 - x2)$

Önemli: Eğim, analitik geometride doğru denklemleri ve grafik bilgisi için temel bir kavramdır.

24:00İki Noktadan Eğim Bulma

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilirse, bu iki noktadan geçen doğru parçasının eğimi (m) bulunur.
Eğim, y değerleri farkının x değerleri farkına oranıdır.

Tahtadaki formüller

$m = (y2 - y1) / (x2 - x1)$
veya
$m = (y1 - y2) / (x1 - x2)$

24:06Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimini Bulma

ax + by + c = 0 şeklindeki bir denklemde eğim, y'yi yalnız bıraktığımızda x'in katsayısıdır.
Alternatif olarak, x'in katsayısının y'nin katsayısına oranının ters işaretlisi alınır.

Tahtadaki formüller

ax + by $+ c = 0$
by = -ax - c
$y = (-a/b)x -$ c/b
Burada eğim $m =$ -a/b dir.

Önemli: y'yi yalnız bıraktığında x'in katsayısı her zaman eğimi verir.

25:22Denklemden Eğim Bulma Örnekleri

Denklem 2x + 3y - 4 = 0 ise eğim -2/3'tür (x'in katsayısı / y'nin katsayısı ve eksi işareti).
Denklem x - 2y + 2 = 0 ise eğim 1/2'dir.
Denklem x + y - 1 = 0 ise eğim -1'dir.
Denklem -3x + 5y + 3 = 0 ise eğim 3/5'tir.

Tahtadaki formüller

I. $2x + 3y - 4 = 0$ ise $m = -2/3$
II. $x - 2y + 2 = 0$ ise $m = 1/2$
III. $x + y - 1 = 0$ ise $m = -1$
IV. $-3x + 5y + 3 = 0$ ise $m = 3/5$ olur.

25:54y = mx + n Şeklindeki Doğru Denklemi

Eğer doğru denklemi y = mx + n şeklinde ise, x'in katsayısı (m) doğrudan eğimi verir.

Tahtadaki formüller

$y = m * x + n$
Eğim $= m$

Önemli: y yalnız bırakıldığında x'in katsayısı her zaman eğimi verir.

26:18Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru Denkleminin Bulunması

Bir noktası (x1, y1) ve eğimi (m) bilinen doğrunun denklemi y - y1 = m(x - x1) şeklinde bulunur.

Tahtadaki formüller

Doğru denklemi $y - y1 = m(x - x1)$ şeklindedir.

Önemli: Bu formül, bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini bulmak için temeldir.

27:16Uygulama: Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru Denklemi

A(2, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulmak için y - y1 = m(x - x1) formülü kullanılır.
y - 3 = 2(x - 2) denklemi açıldığında 2x - y - 1 = 0 elde edilir.

Tahtadaki formüller

$y - y1 = m(x - x1)$
$y - 3 = 2(x - 2)$
$y - 3 = 2x - 4$
$y - 2x + 1 = 0$
$2x - y - 1 = 0$

29:07İki Noktası Bilinen Doğru Denkleminin Bulunması

İki noktası A(x1, y1) ve B(x2, y2) bilinen doğrunun denklemi, eğimlerin eşitlenmesiyle bulunur.
y - y1 / x - x1 = y2 - y1 / x2 - x1 formülü kullanılır.

Tahtadaki formüller

$(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)$

Önemli: Eğimleri birbirine eşitleyerek doğru denklemini elde etmek ana mantıktır.

29:24Uygulama: İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

A(1, 3) ve B(-1, 2) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmak için eğim eşitleme formülü kullanılır.
y - 3 / x - 1 = 2 - 3 / -1 - 1 denklemi çözüldüğünde 2y - x - 5 = 0 elde edilir.

Tahtadaki formüller

$(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)$
$(y - 3) / (x - 1) = (2 - 3) / (-1 - 1)$
$(y - 3) / (x - 1) = -1 / -2$
$2(y - 3) = 1(x - 1)$
$2y - 6 = x - 1$
$2y - x - 5 = 0$

31:12Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemleri

Bir doğru x eksenini a noktasında, y eksenini b noktasında keserse bu doğrunun denklemi x/a + y/b = 1 şeklinde bulunur.

Tahtadaki formüller

x/a + y/b $= 1$

34:45Uygulama: Doğrular ve Eksenler Arasında Kalan Bölgenin Alanı

x/4 + y/8 = 1 doğrusu x eksenini 4'te, y eksenini 8'de keser.
x/2 + y/3 = 1 doğrusu x eksenini 2'de, y eksenini 3'te keser.
Doğrular ve eksenler arasında kalan bölgenin alanı, büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak bulunur.
Büyük üçgenin alanı (8 * 4) / 2 = 16'dır.
Küçük üçgenin alanı (3 * 2) / 2 = 3'tür.
Taralı alan 16 - 3 = 13'tür.

Tahtadaki formüller

Taralı Alan $= (8 * 4) / 2 - (3 * 2) / 2$
Taralı Alan $= 16 - 3$
Taralı Alan $= 13$

36:00BC Doğrusunun Denklemini Bulma (Öklid Uygulaması)

AB ve BC doğruları birbirine diktir, bu nedenle B noktasında 90 derecelik bir açı oluşur.
Dik üçgende dikten dik inildiğinde Öklid teoremi uygulanır.
Öklid teoremine göre, y eksenindeki kesim noktasının koordinatı bulunur.
Y ekseninin altında olduğu için y değeri negatif olarak alınır.

Tahtadaki formüller

$2^2 = 3 * y$
$4 = 3y$
$y = 4/3$
C $= (0, -4/3)$
$x/2 + y/(-4/3) = 1$
$x/2 - 3y/4 = 1$
$2x - 3y = 4$
$2x - 3y - 4 = 0$
$3y - 2x + 4 = 0$

Önemli: Analitik geometride dik üçgen ve Öklid teoremi sıkça karşımıza çıkar.

38:24Denklemi Verilen Doğrunun Grafiği

Bir doğrunun denklemi verildiğinde grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktalar bulunur.
x eksenini kestiği noktayı bulmak için y yerine 0 yazılır.
y eksenini kestiği noktayı bulmak için x yerine 0 yazılır.

38:41-x + 2y = 5 Doğrusunun Grafiği

x=0 için y eksenini kestiği nokta bulunur.
y=0 için x eksenini kestiği nokta bulunur.
Bulunan noktalar koordinat sisteminde işaretlenerek doğru çizilir.

Tahtadaki formüller

$x = 0$ için $2y = 5 => y = 5/2$
$y = 0$ için -x $= 5 => x = -5$

Önemli: Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak, grafiği çizmek için temel adımdır.

39:48Paralel Doğrular

Aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Tahtadaki formüller

d1 // d2 ise $m(d1) = m(d2)$

Analitik Geometriye Giriş

Bu özetten ne eksik?

00:05Analitik Geometriye Giriş ve Bölgeler

02:02Düzlemde Noktaların Koordinatları

02:544. Bölgede Nokta Örneği

03:57İki Nokta Arasındaki Uzaklık

04:58İki Nokta Arasındaki Uzaklık Örneği

12:00Dikdörtgenin D Köşesinin Koordinatları Çarpımı

12:33C Noktasının Koordinatları Toplamı

16:38Üçgenin Ağırlık Merkezi

17:38AOB Dik Üçgeninin Ağırlık Merkezinin Koordinatları Toplamı

20:18Üçgenin Alanı

22:43Eğim

24:00İki Noktadan Eğim Bulma

24:06Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimini Bulma

25:22Denklemden Eğim Bulma Örnekleri

25:54y = mx + n Şeklindeki Doğru Denklemi

26:18Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru Denkleminin Bulunması

27:16Uygulama: Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru Denklemi

29:07İki Noktası Bilinen Doğru Denkleminin Bulunması

29:24Uygulama: İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

31:12Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemleri

34:45Uygulama: Doğrular ve Eksenler Arasında Kalan Bölgenin Alanı

36:00BC Doğrusunun Denklemini Bulma (Öklid Uygulaması)

38:24Denklemi Verilen Doğrunun Grafiği

38:41-x + 2y = 5 Doğrusunun Grafiği

39:48Paralel Doğrular

Matematik dersindeki diğer konu özetleri

Kendi ders videondan böyle bir özet çıkar