00:06Faktöriyel Kavramı ve Temel Özellikleri
- Faktöriyel, ardışık sayıların çarpımını ifade eder.
- 0! ve 1! özel durumdur ve her ikisi de 1'e eşittir.
- 2!'den sonraki tüm faktöriyeller çift sayıdır çünkü içlerinde 2 çarpanı bulunur.
- Faktöriyel işlemsel sorularda sayıları birbirine benzetmek önemlidir.
- Büyük faktöriyellerin içinde küçük faktöriyeller zaten vardır (örneğin 4! = 4 x 3!).
- Toplama ve çıkarma işlemlerinde ortak paranteze almak için benzetme yapılır.
- Bölme işlemlerinde sadeleştirme yapmak için benzetme yapılır.
- Ortak paranteze alırken sayının yanında katsayı yoksa yerine 1 yazılır.
Tahtadaki formüller
- 0! = 1
- 1! = 1
- 2! = 2 x 1 = 2
- 3! = 3 x 2 x 1 = 6
- 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
- 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
- 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
- 10! = 10 x 9 x 8!
- 12! = 12 x 11 x 10!
- 10! + 9! = 9! (10 + 1) = 9! x 11
- 7! - 6! + 5! = 5! (7 x 6 - 6 + 1) = 5! x 37
Önemli: 6 faktöriyele kadar olan sayıların sonuçlarını bilmek işlem kolaylığı sağlar.
05:10Faktöriyelde Toplama ve Bölme İşlemleri (Soru 1)
- Faktöriyel farkı çok fazla değilse, pay ve paydayı ayrı ayrı en küçük faktöriyele benzetmek daha sağlıklıdır.
- Payı 6 faktöriyel parantezine, paydayı 4 faktöriyel parantezine alarak işlem yapılır.
- Sadeleştirme işlemi için büyük faktöriyel, küçük faktöriyelin çarpanlarına ayrılır.
Tahtadaki formüller
- (7! + 6!) / (5! + 4!) = (7 x 6! + 6!) / (5 x 4! + 4!)
- = (6! (7 + 1)) / (4! (5 + 1))
- = (6 x 5 x 4! x 8) / (4! x 6)
- = 5 x 8 = 40
Önemli: Faktöriyelde toplama ve çıkarma işlemlerinde ortak paranteze almak, bölme işlemlerinde ise sadeleştirme yapmak temel mantıktır.
07:11Faktöriyelde Çıkarma ve Toplama İşlemleri (Soru 2)
- Paydaki ve paydadaki faktöriyeller arasındaki fark fazla olduğu için, pay kendi içinde en küçük faktöriyele (9!), payda ise kendi içinde en küçük faktöriyele (7!) benzetilir.
- Ortak paranteze alma işlemi yapılır.
- Sadeleştirme için büyük faktöriyel, küçük faktöriyelin çarpanlarına ayrılır.
Tahtadaki formüller
- (11! - 10! - 9!) / (9! + 8! + 7!)
- = (11 x 10 x 9! - 10 x 9! - 9!) / (9 x 8 x 7! + 8 x 7! + 7!)
- = (9! (110 - 10 - 1)) / (7! (72 + 8 + 1))
- = (9 x 8 x 7! x 99) / (7! x 81)
- = (72 x 99) / 81 = 8 x 11 = 88
Önemli: ÖSYM bu tarz soruları sıklıkla sormayı tercih eder.
09:10Faktöriyelde Çarpma ve Bölme İşlemleri (Soru 3)
- Faktöriyelde çarpma işlemi varsa benzetme işlemi yapılmaz, doğrudan çarpma işlemi uygulanır.
- Paydaki ifade en küçük faktöriyele (6!) benzetilerek ortak paranteze alınır.
- Paydadaki çarpım durumundaki faktöriyellerden biri sadeleştirme için kullanılır, diğeri ise değeri yazılarak işleme devam edilir.
Tahtadaki formüller
- (6! - 7! + 8!) / (5! x 5!)
- = (6! - 7 x 6! + 8 x 7 x 6!) / (5! x 5!)
- = (6! (1 - 7 + 56)) / (5! x 5!)
- = (6 x 5! x 50) / (5! x 120)
- = (6 x 50) / 120 = 300 / 120 = 5/2
Önemli: Çarpma işlemlerinde faktöriyelin değerini bilmek veya sadeleştirme yapmak gerekebilir; toplama/çıkarma işlemlerindeki gibi ortak paranteze alma mantığı uygulanmaz.
12:00Soru 6: Faktöriyel İşlemleri
- Faktöriyel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerinde en küçük faktöriyel parantezine alınır.
- 7!² + 6!² / 7!² - 6!² ifadesini sadeleştirmek için 7! ifadesi 7 x 6! olarak yazılır.
- Kareli ifadelerde, hem sayı hem de faktöriyel kare alınır (örneğin (7 x 6!)² = 7² x (6!)²).
- Ortak paranteze alma işlemi 6!² üzerinden yapılır.
- Sadeleştirme sonrası rasyonel sayılar bilgisi kullanılarak sadeleştirme yapılır.
Tahtadaki formüller
- (7.6!)² + 6!² / (7.6!)² - 6!²
- 49.6!² + 6!² / 49.6!² - 6!²
- 6!²(49+1) / 6!²(49-1)
- 50 / 48
- 25 / 24
Önemli: Faktöriyel ifadelerde kare varsa, hem sayı hem de faktöriyel ifadesinin karesi alınır.
13:58Soru 5: Bölmeli Faktöriyel İşlemleri
- Bölmeli faktöriyel sorularında paydalar eşitlenir.
- Payda eşitlemek için küçük faktöriyel büyük faktöriyele benzetilir (örneğin 4! için 5 ile çarpılırsa 5! olur).
- Rasyonel sayılarda bölme işlemi (birinciyi aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp) uygulanır.
- Sadeleştirme için büyük faktöriyel, küçük faktöriyele benzetilerek açılır.
Tahtadaki formüller
- 1/4! - 1/5! / 1/6! - 1/7! = ?
- (5-1)/5! / (7-1)/7!
- 4/5! / 6/7!
- 4/5! * 7!/6
- 4 * 7 * 6 * 5! / 5! * 6
- 4 * 7 = 28
Önemli: Bölmeli faktöriyel sorularında payda eşitleme ve rasyonel sayı bölme kuralları kritik öneme sahiptir.
15:44Soru 6: a! = 30.b! ise a+b en çok/en az kaçtır?
- a ve b doğal sayı olmak üzere, a! = 30.b! ifadesinde a+b'nin en çok ve en az değerleri bulunur.
- En çok değeri bulmak için a! = 30.b! ifadesi a = 30 ve b = 29 olarak düşünülür (30! = 30 x 29!).
- a+b en çok 59 olur.
- En az değeri bulmak için 30 sayısı ardışık sayıların çarpımı olarak yazılır (6 x 5 = 30).
- a! = 6 x 5 x b! ifadesinde a = 6 ve b = 4 olarak düşünülür (6! = 6 x 5 x 4!).
- a+b en az 10 olur.
Tahtadaki formüller
- a! = 30.b!
- 30! = 30.29!
- a=30, b=29 => a+b=59 (en çok)
- a! = 6.5.b!
- a=6, b=4 => a+b=10 (en az)
Önemli: Faktöriyel sorularında a! = n.b! şeklinde verilen ifadelerde, n sayısının ardışık çarpanları a ve b değerlerinin en az durumunu belirlerken, n'nin kendisi ve bir eksiği en çok durumu belirler.
18:24Soru 7: x!/y! = 132 ise x+y kaçtır?
- x ve y iki basamaklı sayılar olmak üzere x!/y! = 132 ise x+y değeri bulunur.
- x! = 132.y! şeklinde içler dışlar çarpımı yapılır.
- 132 sayısı ardışık iki sayının çarpımı olarak yazılır (12 x 11 = 132).
- x! = 12 x 11 x y! ifadesinde x = 12 ve y = 10 olarak düşünülür (12! = 12 x 11 x 10!).
- x ve y'nin iki basamaklı olması koşuluna dikkat edilir.
- x+y = 12 + 10 = 22 bulunur.
Tahtadaki formüller
- x!/y! = 132
- x! = 132.y!
- 132 = 12 * 11
- x! = 12 * 11 * y!
- x=12, y=10
- x+y = 22
Önemli: İki basamaklı sayı koşulu, x ve y değerlerinin belirlenmesinde önemlidir. 132 gibi sayıların ardışık çarpanlara ayrılması temel yöntemdir.
20:07Soru 8: a! = 24.b! ise kaç farklı b değeri vardır?
- a ve b doğal sayı olmak üzere a! = 24.b! ifadesinde kaç farklı b değeri olduğu bulunur.
- İlk durum olarak a = 24 ve b = 23 alınır (24! = 24 x 23!).
- 24 sayısının ardışık çarpanları düşünülür: 4 x 3 x 2 = 24.
- a! = 4 x 3 x 2 x b! ifadesinde a = 4 olur.
- Doğal sayılar 0'dan başladığı için b'nin alabileceği değerler 1 ve 0'dır (çünkü 1! = 1 ve 0! = 1).
- Bu durumda b = 1 ve b = 0 olmak üzere iki farklı değer alır.
- Toplamda b'nin alabileceği farklı değerler: 23, 1, 0 yani 3 tanedir.
Tahtadaki formüller
- a! = 24.b!
- a=24, b=23 (1. değer)
- 24 = 4 * 3 * 2
- a! = 4 * 3 * 2 * b!
- a=4
- b=1 (2. değer)
- b=0 (3. değer)
- Toplam 3 farklı b değeri vardır.
Önemli: Doğal sayı tanımı (0'dan başlar) faktöriyel sorularında b'nin 0 olma ihtimalini göz önünde bulundurmayı gerektirir, çünkü 0! = 1! = 1'dir. Bu durum, b'nin alabileceği farklı değer sayısını artırır.
22:54Soru 9: 10! + 9! + 8! ifadesi hangisine tam olarak bölünmez?
- 10! + 9! + 8! ifadesinin hangi şıklardaki sayıya tam olarak bölünemeyeceği bulunur.
- İfadeyi sadeleştirmek için en küçük faktöriyel olan 8! parantezine alınır.
- 10! = 10 x 9 x 8! ve 9! = 9 x 8! şeklinde açılır.
- 8!(10 x 9 + 9 + 1) işlemi yapılır.
- Parantez içi 90 + 9 + 1 = 100 olur.
- İfade 8! x 100 haline gelir.
- Şıklardaki sayılarla 8! x 100 ifadesinin bölünüp bölünmediği kontrol edilir.
Tahtadaki formüller
- 10! + 9! + 8!
- 10 * 9 * 8! + 9 * 8! + 8!
- 8!(10 * 9 + 9 + 1)
- 8!(90 + 9 + 1)
- 8! * 100
Önemli: Faktöriyel toplamalarında, ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine almak ve oluşan çarpımı sadeleştirmek, bölünebilirlik sorularında kolaylık sağlar.
24:00Faktöriyel İfadesinin Bölünebilirliği
- 8! + 9! + 10! ifadesinin hangi sayılara bölünüp bölünemediği incelenir.
- İfade 8! parantezine alınarak 8! x (1 + 9 + 90) = 8! x 100 olarak yazılır.
- Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamak için, bölen sayının çarpanlarının bölünen sayıda bulunup bulunmadığına bakılır.
- 200 = 2 x 100 olduğundan, ifadede 100 ve 8! içinde 2 olduğu için 200'e tam bölünür.
- 72 = 9 x 8 olduğundan, ifadede 8! içinde 8 ve 8! içinde 3x3=9 olduğu için 72'ye tam bölünür.
- 70 = 7 x 10 olduğundan, ifadede 8! içinde 7 ve 8! içinde 10 olduğu için 70'e tam bölünür.
- 77 = 7 x 11 olduğundan, ifadede 8! içinde 7 vardır ancak 11 çarpanı bulunmadığı için 77'ye tam bölünmez.
- 35 = 5 x 7 olduğundan, ifadede 8! içinde 5 ve 7 olduğu için 35'e tam bölünür.
Tahtadaki formüller
- 10! + 9! + 8!
- 8! (1 + 9 + 9 x 8)
- 8! (1 + 9 + 72) = 8! x 82
- 10 x 9 + 9 + 1 = 81 + 1 = 82
- 10! + 9! + 8! ifadesi
- 8! x 100
- 200 = 2 x 100
- 72 = 9 x 8
- 70 = 7 x 10
- 77 = 7 x 11
- 35 = 5 x 7
- 8! x 100 = 8.7.6.5.4.3.2.1 x 2^2 x 5^2
Önemli: Bir faktöriyel ifadesinin bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamak için, bölen sayının asal çarpanlarının faktöriyel ifadesinin içinde bulunup bulunmadığına bakılmalıdır.
25:52En Büyük Asal Çarpanın Rakamları Toplamı
- 43! + 44! ifadesinin en büyük asal çarpanının rakamları toplamı sorulur.
- İfadeyi toplama işlemi olduğu için önce paranteze alarak çarpım haline getirmeliyiz.
- 44! ifadesini 44 x 43! olarak yazabiliriz.
- İfade 43! parantezine alınır: 43! x (1 + 44) = 43! x 45.
- Bu sayının en büyük asal çarpanını bulmak için 43! içindeki en büyük asal sayıya ve 45'in asal çarpanlarına bakılır.
- 43! içinde 43'ten daha büyük bir asal çarpan yoktur.
- 45'in asal çarpanları 3 ve 5'tir (5 x 9).
- Bu durumda, 43! x 45 ifadesinin en büyük asal çarpanı 43'tür.
- 43 sayısının rakamları toplamı 4 + 3 = 7'dir.
Tahtadaki formüller
- 43! + 44!
- 43! + 44 x 43!
- 43! (1 + 44)
- 43! x 45
- 43.42.41.40....1 x 5.9
- 4 + 3 = 7
Önemli: Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi varsa, önce küçük faktöriyel parantezine alarak ifadeyi çarpım haline getirmek gerekir. En büyük asal çarpanı bulmak için ifadedeki en büyük asal sayıya bakılır.
27:37Bir Sayının Tam Kare Olması İçin Çarpılacak En Küçük Sayı
- 10! sayısının en küçük hangi pozitif tam sayı ile çarpılırsa sonucun bir tam sayının karesi olacağı sorulur.
- Bir sayının tam kare olması için asal çarpanlarının üslerinin çift olması gerekir.
- 10! sayısını açarak tam kare olan çarpanları eleriz ve geriye kalan çarpanları tam kare yapmak için hangi sayıya ihtiyaç duyduğumuzu buluruz.
- 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 şeklinde yazılır.
- Tam kare olan çarpanlar: 9 (3^2), 4 (2^2), 2x8=16 (4^2).
- Kalan çarpanlar: 10 (2x5), 7, 6 (2x3), 5, 3, 2.
- Bu çarpanları birleştirerek tam kare olanları tekrar eleriz: 2x5 (10), 7, 2x3 (6), 5, 3, 2. Buradan 2x2, 3x3, 5x5 tam kare olur.
- Geriye sadece 7 kalır.
- Sonucun tam kare olması için 7 ile çarpılması gerekir, böylece 7 x 7 = 49 olur ve bu da bir tam karedir.
- 10! için cevap 7, 11! için ise 77'dir (7 x 11).
Tahtadaki formüller
- 10! x X = Y^2
- 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 x X = Y^2
- 7 x X = Y^2
Önemli: Bir faktöriyel ifadesinin bir tam sayının karesi olması için çarpılması gereken en küçük pozitif tam sayı, faktöriyel açılımındaki tek üslü asal çarpanların çarpımıdır.
