00:06OBEB ve OKEK'e Giriş
- OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü), iki veya daha fazla sayıyı ortak bölen en büyük sayıdır.
- OKEK (Ortak Katların En Küçüğü), iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
- OBEB, sayılardan daha küçük veya eşit olurken, OKEK sayılardan daha büyük veya eşit olur.
Önemli: OBEB ve OKEK kavramlarının temel mantığı ve farkı.
00:49OBEB ve OKEK Hesaplama Yöntemleri (Asal Çarpanlara Ayırma)
- Sayıları beraber asal çarpanlarına ayırarak OBEB ve OKEK bulunabilir.
- OBEB için, her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir ve çarpılır.
- OKEK için, tüm asal çarpanlar (ortak olsun olmasın) en büyük üsleriyle çarpılır.
- İşlem süresini kısaltmak için, önce sayıları bölen en büyük sayıları yazıp devamında asal çarpanlara ayırmak pratik olabilir.
Tahtadaki formüller
- OBEB(120,180) = 30.2 = 60
- OKEK(120,180) = 30.2.2.3 = 360
- 120 = 2^3 . 3 . 5
- 180 = 2^2 . 3^2 . 5
- OBEB = 2^2 . 3^1 . 5^1 = 60
- OKEK = 2^3 . 3^2 . 5^1 = 360
Önemli: Asal çarpanlara ayırarak OBEB ve OKEK bulma yöntemleri, özellikle büyük sayılar için önemlidir.
04:55Üslü Sayılarla Verilen OBEB ve OKEK Hesaplamaları
- OKEK hesaplarken, tüm asal çarpanların en büyük üslü olanları alınır (ortak olma şartı aranmaz).
- OBEB hesaplarken, sadece ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanları alınır.
- Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır.
Tahtadaki formüller
- A = 2^4 . 3^2 . 5^4
- B = 2^3 . 3^4 . 5^2 . 7
- C = 2^2 . 3^3 . 5^1 . 7^2 . 11
- OKEK = 2^4 . 3^4 . 5^4 . 7^2 . 11
- OBEB = 2^2 . 3^2 . 5^1
- OKEK / OBEB = 2^2 . 3^2 . 5^1 . 7^2 . 11
Önemli: Üslü sayılarla verilen ifadelerde OBEB ve OKEK bulurken üslerin doğru seçimi kritik öneme sahiptir.
06:43Değişkenlerle Verilen OBEB ve OKEK Hesaplamaları
- p ve q farklı asal sayılar olmak üzere, A ve B sayılarının OBEB ve OKEK'i hesaplanır.
- OKEK için p'nin en büyük üslüsü (p^3) ve q'nun en büyük üslüsü (q^2) alınır.
- OBEB için p'nin en küçük üslüsü (p^2) ve q'nun en küçük üslüsü (q) alınır.
- Bölme işlemi yapıldığında üslü sayılarda tabanlar aynıysa üsler çıkarılır.
Tahtadaki formüller
- A = p^2 . q^2
- B = p^3 . q
- OKEK = p^3 . q^2
- OBEB = p^2 . q
- OKEK / OBEB = p^3 . q^2 / p^2 . q = p . q
Önemli: Harfli ifadelerde OBEB ve OKEK hesaplama mantığı, sayısal ifadelerdekiyle aynıdır; üslerin doğru seçimi önemlidir.
07:50Asal Çarpan Listesiyle Sayıları Bulma
- Verilen asal çarpan listesinde bir harf değişmişse, o sayı o asal çarpana bölünmüştür.
- Harf değişmemişse, o sayı o asal çarpana bölünmemiştir.
- Sayıları bulmak için, son harften geriye doğru çarpanları takip ederek ilerlenir.
- Örneğin, 'A' harfi 'D' olmuşsa '2'ye bölünmüş demektir. 'F' harfi 'F' olarak kalmışsa '3'e bölünmemiş demektir.
Tahtadaki formüller
- A = 2 . 2 . 5 = 20
- B = 3 . 5 . 7 = 105
- C = 2 . 3 . 5 . 7 = 210
Önemli: Asal çarpan listesi üzerinden orijinal sayıları bulma tekniği, bu tür soruların çözümünde temeldir.
12:00OBEB ve OKEK İlişkisi
- OBEB küçük bir sayıdır, OKEK büyük bir sayıdır.
- İki sayı (A, B) için OBEB(A,B) ≤ A,B ≤ OKEK(A,B) eşitsizliği geçerlidir.
- Bir sayının OBEB'i verilmişse, o sayı OBEB'in katı olmak zorundadır.
Tahtadaki formüller
- OBEB(A,B) ≤ A-B ≤ OKEK(A,B)
- A = 60.k1
- B = 60.k2
Önemli: OBEB verilen sayılar, OBEB'in katı olmak zorundadır ve katlar (k1, k2...) aralarında asal olmalıdır.
12:40OBEB'leri 60 Olan İki Doğal Sayının Toplamı En Az
- OBEB'leri 60 olan iki doğal sayının toplamı en az kaçtır sorusu için sayılar 60 ve 60 alınabilir.
- Çünkü k1 ve k2 aralarında asal olmalı ve en küçük değerler için 1 ve 1 verilebilir.
- Toplam 120 olur.
Tahtadaki formüller
- A = 60.k1 = 60.1 = 60
- B = 60.k2 = 60.1 = 60
- Toplam = 120
Önemli: Farklı şartı yoksa sayılar eşit alınabilir.
14:02OBEB'leri 60 Olan Üç Farklı Doğal Sayının Toplamı En Az
- Üç farklı doğal sayı için k1, k2, k3 değerleri aralarında asal ve birbirinden farklı olmalıdır.
- En küçük değerler 1, 2, 3 olarak seçilebilir.
- Sayılar 60, 120, 180 olur.
- Toplamları 360'tır.
Tahtadaki formüller
- A = 60.k1 = 60.1 = 60
- B = 60.k2 = 60.2 = 120
- C = 60.k3 = 60.3 = 180
- Toplam = 360
Önemli: k1, k2, k3'ün birden başka ortak böleni olmamasına dikkat edilmelidir.
15:20OBEB'leri 40 Olan Üç Basamaklı Üç Farklı Doğal Sayının Toplamı En Az
- Sayılar 40'ın katı olmalı ve üç basamaklı olmalıdır.
- k1, k2, k3 aralarında asal ve farklı olmalıdır.
- k1 için en küçük değer 3 (40x3=120) seçilir, çünkü 1 ve 2 iki basamaklı yapar.
- k2 için 4 (40x4=160), k3 için 5 (40x5=200) seçilir.
- Toplamları 480'dir.
Tahtadaki formüller
- A = 40.k1 = 40.3 = 120
- B = 40.k2 = 40.4 = 160
- C = 40.k3 = 40.5 = 200
- Toplam = 480
Önemli: Sayının basamak sayısı şartına dikkat edilmeli ve k değerleri aralarında asal olmalıdır.
16:35OBEB'leri 40 Olan Üç Basamaklı Üç Doğal Sayının Toplamı En Az
- Bu soruda 'farklı' şartı yoktur, ancak k1, k2, k3'ün birden başka ortak böleni olmamalıdır.
- En küçük üç basamaklı sayı için k1=3 (120) seçilir.
- k2=3 (120), k3=4 (160) seçilebilir. (3,3,4'ün ortak böleni 1'dir).
- Toplamları 400'dür.
Tahtadaki formüller
- A = 40.k1 = 40.3 = 120
- B = 40.k2 = 40.3 = 120
- C = 40.k3 = 40.4 = 160
- Toplam = 400
Önemli: Sayıların aynı olması durumunda k değerlerinin aralarında asal olma kuralı, üç sayının üçünün de aynı anda birden başka ortak böleni olmaması anlamına gelir.
17:55OBEB'leri 20 Olan İki Basamaklı İki Doğal Sayının Toplamı En Çok
- Sayılar 20'nin katı olmalı ve iki basamaklı olmalıdır.
- En çok toplam için k değerleri mümkün olduğunca büyük seçilmelidir.
- k1=4 (20x4=80), k2=3 (20x3=60) seçilebilir.
- k1 ve k2 aralarında asal olmalıdır (4 ve 3 aralarında asaldır).
- Toplamları 140'tır.
Tahtadaki formüller
- A = 20.k1 = 20.4 = 80
- B = 20.k2 = 20.3 = 60
- Toplam = 140
Önemli: En çok sorulduğunda, basamak şartına uygun en büyük ve aralarında asal k değerleri seçilmelidir.
19:08OKEK'leri 60 Olan İki Farklı Doğal Sayının Toplamı En Çok
- OKEK'i 60 olan sayılar, 60'ı bölen sayılar olmalıdır.
- En çok toplam için sayılar 60'a yakın ve farklı olmalıdır.
- Sayılar 60/k1 ve 60/k2 şeklinde ifade edilebilir.
- k1=1 ve k2=2 seçilirse sayılar 60 ve 30 olur.
- Toplamları 90'dır.
Tahtadaki formüller
- A = 60/k1 = 60/1 = 60
- B = 60/k2 = 60/2 = 30
- Toplam = 90
Önemli: OKEK verildiğinde en çok toplam için, OKEK'i bölen en küçük farklı sayılar (1, 2) kullanılır.
20:08OKEK'leri 120 Olan Dört Farklı Doğal Sayının Toplamı En Çok
- OKEK'i 120 olan dört farklı sayı için 120'yi bölen en küçük dört farklı sayı kullanılır.
- Sayılar 120/1, 120/2, 120/3, 120/4 olarak bulunur.
- Yani 120, 60, 40, 30'dur.
- Toplamları 250'dir.
Tahtadaki formüller
- A = 120/1 = 120
- B = 120/2 = 60
- C = 120/3 = 40
- D = 120/4 = 30
- Toplam = 250
Önemli: OKEK sorularında aralarında asal şartına ihtiyaç duyulmaz, çünkü OKEK'in kendisi zaten en büyük ortak katı belirler.
21:42Arasında Asal Sayılar ve OKEK İlişkisi
- A ve B aralarında asal ise, OBEB(A,B) = 1'dir.
- A ve B aralarında asal ise, OKEK(A,B) = A.B'dir.
- OKEK verilip sayıların toplamı en az sorulursa, sayılar aralarında asal ve çarpımları OKEK'e eşit olmalıdır.
- Bu sayılar birbirine en yakın seçilmelidir.
Tahtadaki formüller
- NOT: A ve B aralarında asal ise,
- OBEB(A,B) = 1
- OKEK(A,B) = A.B
Önemli: OKEK verilip 'en az' toplam sorulduğunda, çarpımları OKEK'i veren ve aralarında asal olan en yakın iki sayı seçilir.
22:17OKEK'leri 24 Olan İki Doğal Sayının Toplamı En Az
- Çarpımları 24 olan ve aralarında asal olan en yakın iki sayı 3 ve 8'dir.
- Sayılar 3 ve 8 olarak seçilir.
- Toplamları 11'dir.
- 6 ve 4 seçilemez çünkü aralarında asal değillerdir (OBEB'leri 2'dir).
Tahtadaki formüller
- a.b = 24
- 3.8 = 24
- Toplam = 3 + 8 = 11
Önemli: Aralarında asal olma şartı, OBEB'lerinin 1 olmasını gerektirir. Bu durum, OKEK'i çarpımları yapan tek durumdur.
23:27Sayıların Çarpımı = OBEB x OKEK
- Herhangi iki doğal sayı (X, Y) için X.Y = OBEB(X,Y) . OKEK(X,Y) formülü geçerlidir.
- Bu formül, iki sayının OBEB ve OKEK'i birlikte verildiği her durumda kullanılabilir.
Tahtadaki formüller
- NOT: X ve Y iki doğal sayı ise,
- X.Y = OBEB(X,Y) . OKEK(X,Y)
Önemli: Bu formül sadece iki sayı için geçerlidir, üç veya daha fazla sayı için geçerli değildir.
24:00İki Sayının OBEB ve OKEK'i Verildiğinde Diğer Sayıyı Bulma
- İki sayının çarpımı, o sayıların OBEB'i ile OKEK'inin çarpımına eşittir.
- Bu formül, iki sayıdan biri ve OBEB ile OKEK verildiğinde diğer sayıyı bulmak için kullanılır.
Tahtadaki formüller
- OBEB(48,x) = 24
- OKEK(48,x) = 144
- 48 . x = 24 . 144
- x = 72
Önemli: İki sayının çarpımı = OBEB(sayılar) * OKEK(sayılar) formülü kritik.
24:46OBEB ve OKEK Verildiğinde Sayıların Toplamının En Çok Değeri
- OBEB(a,b) = 24 ve OKEK(a,b) = 144 ise a+b toplamının en çok kaç olabileceği sorulmuştur.
- Sayılar, OBEB'in katları şeklinde ifade edilir: a = 24k1, b = 24k2.
- k1 ve k2 aralarında asal olmalıdır.
- a.b = OBEB(a,b) . OKEK(a,b) formülü uygulanır.
- k1 . k2 = OKEK(a,b) / OBEB(a,b) formülü ile k1 ve k2 çarpımı bulunur.
- Toplamın en çok olması için k1 ve k2 değerleri olabildiğince birbirinden uzak seçilir ve aralarında asal olmasına dikkat edilir.
Tahtadaki formüller
- OBEB(a,b) = 24
- OKEK(a,b) = 144
- a = 24.k1
- b = 24.k2
- 24.k1 . 24.k2 = 24 . 144
- k1 . k2 = 6
- k1 = 1, k2 = 6
- a = 24
- b = 144
- a + b = 168
Önemli: k1 ve k2 aralarında asal olmalı ve toplamın en çok olması için en uzak değerler seçilmelidir.
27:00OBEB ve OKEK Verildiğinde Sayıların Toplamının En Az Değeri
- OBEB(x,y) = 20 ve OKEK(x,y) = 480 ise x+y toplamının en az kaç olabileceği sorulmuştur.
- Sayılar, OBEB'in katları şeklinde ifade edilir: x = 20k1, y = 20k2.
- k1 ve k2 aralarında asal olmalıdır.
- x.y = OBEB(x,y) . OKEK(x,y) formülü uygulanır.
- k1 . k2 = OKEK(x,y) / OBEB(x,y) formülü ile k1 ve k2 çarpımı bulunur.
- Toplamın en az olması için k1 ve k2 değerleri olabildiğince birbirine yakın seçilir ve aralarında asal olmasına dikkat edilir.
Tahtadaki formüller
- OBEB(x,y) = 20
- OKEK(x,y) = 480
- x = 20k1
- y = 20k2
- 20k1 . 20k2 = 20 . 480
- k1 . k2 = 24
- k1 = 3, k2 = 8
- x = 60
- y = 160
- x + y = 220
Önemli: k1 ve k2 aralarında asal olmalı ve toplamın en az olması için en yakın değerler seçilmelidir.
