Asal Sayılar Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

00:06Giriş ve Asal Sayılar Konusunun Önemi

• Asal sayılar ve pozitif bölen sayısı, sayısal mantık sorularında kullanılabilen önemli kavramlardır.
• TYT, AYT, ALES, DGS ve KPSS gibi sınavlarda asal sayılarla ilgili sorular çıkabilmektedir.
• Bu kavramları bilmek, sayısal mantık sorularında avantaj sağlar.

Önemli: Asal sayılar bilgisi, sayısal mantık sorularında sıkça kullanılır.

01:11Asal Sayı Tanımı ve Özellikleri

• Asal sayılar, 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan, 1'den büyük sayılardır.
• Asal sayılar 2 ile başlar: {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
• Asal sayılar negatif olamaz.
• Tek çift asal sayı 2'dir. Diğer tüm asal sayılar tektir.
• Farkı 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. (x-y=1 ise x=3, y=2)
• x ve y 2'den farklı asal sayılar ise, x-y farkı çift olmak zorundadır (Tek - Tek = Çift).
• Eğer x-y tek bir sayıya eşitse ve x, y asal sayılarsa, y mutlaka 2 olmak zorundadır. (Örnek: x-y=255 ise y=2, x=257).

Önemli: Farkı tek olan asal sayılarda küçük olan sayı her zaman 2'dir. Bu bilgi, bazı sorularda kilit rol oynar.

05:06Asal Rakamlar

• Dört adet asal rakam vardır: 2, 3, 5, 7.
• Başka asal rakam bulunmamaktadır.

05:34Soru 1: Asal Sayının Küpü ve Kalan Bulma

• 240/A ifadesi bir asal sayının küpüne eşitse, bu asal sayı 2 olmak zorundadır (çünkü 2'nin küpü 8, 3'ün küpü 27 ve 240'ı tam bölen bir asal sayının küpü 8'dir).
• 240/A = 8 ise A = 30 bulunur.
• A'nın 8 ile bölümünden kalan 6'dır.

Önemli: Verilen sayının asal çarpanlarına ve küplerine dikkat ederek, hangi asal sayının küpü olabileceğini belirlemek önemlidir.

07:01Soru 2: Asal Sayı ve Doğal Sayı İlişkisi

• A asal sayı, P doğal sayı ve A*P = 3^A ise, A mutlaka 3 olmalıdır.
• A=3 yerine yazıldığında 3*P = 3^3 = 27 olur.
• P = 9 bulunur.
• A+P = 3+9 = 12'dir.

Önemli: Denklemdeki taban değeri, asal sayının kendisi olmalıdır.

08:46Soru 3: İki Kare Farkı ve Asal Sayılar

• x ve y sayma sayıları olmak üzere, x^2 - y^2 = 23 verilmiştir.
• x^2 - y^2 ifadesi iki kare farkı özdeşliğinden (x-y)(x+y) olarak açılır.
• 23 asal bir sayı olduğundan, çarpanları sadece 1 ve 23'tür.
• x-y = 1 ve x+y = 23 denklemleri çözülür.
• Denklemler taraf tarafa toplandığında 2x = 24, yani x = 12 bulunur.
• x değeri yerine yazıldığında 12+y = 23, yani y = 11 bulunur.
• x*y = 12*11 = 132'dir.

Önemli: Asal sayıların çarpanlarının sadece 1 ve kendisi olması, iki kare farkı gibi özdeşliklerde denklemleri çözmek için kullanılır.

10:44Soru 4: Asal Sayılarla İki Eşitlik

• A, B, C asal sayılardır.
• A(A+B) = 143 ve C(C-B) = 143 eşitlikleri verilmiştir.
• 143 sayısının çarpanları 11 ve 13'tür (11*13 = 143).
• Bu tür sorularda, çarpanları bilmek önemlidir. (Örnek: 132 = 11*12, 143 = 11*13).

Önemli: ÖSYM'nin sevdiği tarzda bir soru olup, bazı sayıların asal çarpanlarını bilmek soruyu çözmede hız kazandırır.

11:59143 Sayısının Çarpanları

• 143 sayısı 11 ve 13'ün çarpımıdır.

12:00Asal Sayılarla İlgili Örnek Soru Çözümü

• Sayıların 11'e bölünebilme kuralı: soldaki ve sağdaki rakamların toplamı ortadaki rakamı veriyorsa sayı 11'e bölünür.
• A, B, C asal sayılar olmak üzere, (A+B)C = 143 ve C(C-B) = 143 denklemleri çözülür.
• 143 sayısının çarpanları 11 ve 13'tür.
• A=11, B=2, C=13 olarak bulunur.
• A+B+C toplamı 11+2+13 = 26'dır.

Önemli: Asal sayılarla ilgili denklemlerde çarpanlara ayırma ve değer verme yöntemleri önemlidir.

13:37Aralarında Asal Sayılar Kavramı

• Aralarında asal sayılar, birden başka ortak böleni olmayan iki sayıdır.
• Aralarında asal sayılar için mutlaka iki sayı olması gerekir.
• Sayıların asal olma zorunluluğu yoktur (örn: 8 ve 9 aralarında asaldır).
• 1 ile her sayı aralarında asaldır (örn: 1 ve 10 aralarında asaldır).
• Ardışık sayılar aralarında asaldır.
• Ardışık tek sayılar aralarında asaldır.
• Ardışık çift sayılar aralarında asal değildir.

Önemli: Aralarında asal sayılarla asal sayılar karıştırılmamalıdır. Asal olma zorunluluğu yoktur.

15:48Aralarında Asal Sayılarla İlgili Soru 5

• x ve y aralarında asal sayılardır.
• x/y = 15/25 denklemi verilir.
• 15 ve 25 aralarında asal olmadığı için sadeleştirilir.
• 15/25 kesri 5 ile sadeleştirilerek 3/5 bulunur.
• x=3 ve y=5 olarak alınır, çünkü 3 ve 5 aralarında asaldır.
• x*y = 3*5 = 15 olarak bulunur.

Önemli: Aralarında asal sayılarla ilgili kesirli denklemlerde, sayılar sadeleştirilerek aralarında asal hale getirildikten sonra eşitleme yapılır.

16:49Aralarında Asal Sayılarla İlgili Soru 6

• a-1 ve b+3 aralarında asal sayılardır.
• (a-1)/(b+3) = 18/30 denklemi verilir.
• 18 ve 30 aralarında asal olmadığı için sadeleştirilir.
• 18/30 kesri 6 ile sadeleştirilerek 3/5 bulunur.
• a-1 = 3 ise a=4 bulunur.
• b+3 = 5 ise b=2 bulunur.
• a*b = 4*2 = 8 olarak bulunur.

Önemli: Denklemdeki ifadeler aralarında asal olarak verilmişse, karşılarındaki oran da aralarında asal hale getirilmelidir.

18:23Aralarında Asal Sayılarla İlgili Soru 7

• x-2 ve y+4 aralarında asal sayılardır.
• 35(x-2) = 45(y+4) denklemi verilir.
• Denklemdeki katsayılar (35 ve 45) aralarında asal olmadığı için sadeleştirilir.
• Denklem 5 ile sadeleştirilerek 7(x-2) = 9(y+4) elde edilir.
• x-2 = 9 ise x=11 bulunur.
• y+4 = 7 ise y=3 bulunur.
• x*y = 11*3 = 33 olarak bulunur.

Önemli: Çarpım durumundaki aralarında asal ifadelerde, katsayılar sadeleştirilerek aralarında asal hale getirildikten sonra eşitleme yapılır.

19:45Aralarında Asal Sayılarla İlgili Soru 8 (Zor Seviye)

• x-1 ve y+3 aralarında asal sayılardır.
• x*y + 3x - y + 24 = 0 denklemi verilir.
• Denklemdeki ifadeleri x-1 ve y+3 şeklinde çarpanlara ayırmak için ekstra bir yol kullanılır.
• (x-1)(y+3) ifadesi açıldığında x*y + 3x - y - 3 elde edilir.
• Verilen denklem x*y + 3x - y + 24 = 0 olduğundan, -3 yerine +24 elde etmek için 27 eklenir.
• (x-1)(y+3) = -27 olur.
• Denklem (x-1)(y+3) = -21 şeklinde düzenlenir (24'ten 3 çıkarılarak).
• x+y'nin en çok kaç olacağı sorulduğu için çarpanlar olabildiğince uzak seçilir.
• x-1 = 1 ve y+3 = 21 alınır (veya tersi).
• x-1 = 1 ise x=2 bulunur.
• y+3 = 21 ise y=18 bulunur.
• x+y = 2+18 = 20 olarak bulunur.

Önemli: Verilen denklemde aralarında asal ifadeler doğrudan bulunamıyorsa, bu ifadelerin çarpımını oluşturacak şekilde düzenlemeler yapılmalıdır.

22:20Aralarında Asal Sayılarla İlgili Soru 9

• m ve n aralarında asal sayılardır.
• (m-n)/(m+n) = 20/25 denklemi verilir.
• Sadece m ve n aralarında asal dendiğinde içler dışlar çarpımı yapılabilir.
• Ancak önce 20/25 kesri sadeleştirilir.
• 20/25 kesri 5 ile sadeleştirilerek 4/5 bulunur.
• 5(m-n) = 4(m+n) içler dışlar çarpımı yapılır.
• 5m - 5n = 4m + 4n elde edilir.
• Denklem düzenlenerek m = 9n bulunur.
• m ve n aralarında asal olduğu için m=9 ve n=1 alınır.
• m+n = 9+1 = 10 olarak bulunur.

Önemli: Sadece 'm ve n aralarında asal' deniyorsa, oran sadeleştirildikten sonra içler dışlar çarpımı yapılabilir. Ancak 'm-n ve m+n aralarında asal' denseydi bu yöntem kullanılmazdı.

24:00Aralarında Asal İkili Sayısı

• Aralarında asal iki sayının çarpımı verildiğinde, kaç farklı ikili olduğunu bulmak için sayının asal çarpanlarına ayrılması gerekir.
• Sayının asal çarpanlarının sayısı 'n' ise, aralarında asal ikili sayısı 2 üzeri 'n' formülüyle bulunur.

Önemli: Aralarında asal ikililerin sayısını bulma formülü (2^n) kritik bir bilgidir.

26:11Bir Sayıyı Tam Kare Yapma

• Bir sayıyı tam kare yapmak için, asal çarpanlarına ayrıldığında üssü tek olan çarpanların üssünü çift yapmak gerekir.
• Bunun için eksik olan çarpanlarla sayı çarpılır.

Önemli: Tam kare olması için tüm asal çarpanların üslerinin çift olması gerektiği unutulmamalıdır.

27:47Bir Sayıyı Tam Küp Yapma

• Bir sayıyı tam küp yapmak için, asal çarpanlarına ayrıldığında üssü 3'ün katı olmayan çarpanların üssünü 3'ün katı yapmak gerekir.
• Eksik olan çarpanlar bulunur ve sayıyla çarpılır.

Önemli: Tam küp olması için tüm asal çarpanların üslerinin 3'ün katı olması gerektiği önemlidir.

29:03Tam Kare ve Tam Küp Sorularında Değişken Bulma

• x^2 = 45 . y ise x+y en az? gibi sorularda, verilen sayıyı asal çarpanlarına ayırın.
• Sonucun tam kare olması için eksik olan çarpanları 'y' yerine yazın.
• Üsleri sadeleştirerek 'x' değerini bulun ve istenen toplamı hesaplayın.

Önemli: Bu tür sorularda 'en az' ifadesi genellikle en küçük pozitif tam sayı değerlerini bulmayı gerektirir.

30:54a^3 = 240 . b İse a+b En Az

• a^3 = 240 . b gibi sorularda, 240 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
• Sonucun tam küp olması için eksik olan çarpanları 'b' yerine yazın.
• Üsleri sadeleştirerek 'a' değerini bulun ve istenen toplamı hesaplayın.

Önemli: Burada 'b' değerini bulurken, a^3'ün bir tam küp olması için her asal çarpanın üssünün 3'ün katı olması sağlanmalıdır.

36:00M ve N Değerlerinin Bulunması

• Bir sayının küpü olan m³ = 600n² ifadesinde m ve n değerlerini bulmak için 600 sayısının asal çarpanlarına ayrılması gerekir.
• 600 sayısının asal çarpanları 2³ * 3¹ * 5² şeklindedir.
• m³ = 2³ * 3¹ * 5² * n² denklemini sağlamak için n değerinin 3¹ * 5¹ olması gerekir.
• Böylece m³ = 2³ * 3³ * 5⁶ olur.
• m = 2 * 3 * 5² = 150 bulunur.
• n = 3 * 5 = 75 bulunur.
• m + n = 150 + 75 = 225'tir.

Önemli: Bu tür sorular ALES sınavında çıkmıştır ve zorlayıcı olabilir.

38:45Asal Sayılar Konusunun Tamamlanması

• Asal sayılar konusunun soru çözümleriyle birlikte tamamlanmıştır.
• Bir sonraki videoda pozitif bölen sayılarının nasıl bulunacağı anlatılacaktır.

39:13Pozitif Bölen Sayısı ve Sayısal Mantık

• Bir sayının pozitif bölen sayısını bilmek, sayısal mantık sorularında faydalı olabilir.

Önemli: Pozitif bölen sayısı kavramı sayısal mantık sorularında karşınıza çıkabilir.