Matematik · KPSS

Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Yargı Pluskaynak 35 dk14 bölüm

Kanıtlı Özetdakika damgalı
Kaynağı aç Havuzda

Bu özetle Meşk yap. Hoca yalnız bu özetin içinden soruyor, sen konuşarak cevaplıyorsun. Örnek dersi dinle

Üye ol, meşke başla

Bu özetten ne eksik?

Üretecek hakkın yoksa iste — hakkı olan biri üretince herkese açılır ve sana haber gelir.

Zaman damgalarına tıklayınca video o andan devam eder. Video oynarken de üstteki şerit hangi bölümde olduğunu yazar — tıklayınca özetin o yerine iner.

00:05Üslü Sayılar Tanımı

  • Üslü sayılar, çok büyük sayıları daha derli toplu hale getiren bir konudur.
  • A ve B tam sayı olmak üzere, B tane A'nın çarpımı A üzeri B olarak ifade edilir.
  • B, üs (kuvvet) ve A, taban olarak adlandırılır.
  • Örnek: 8 tane 2'nin çarpımı 2 üzeri 8 şeklinde yazılır.
  • Örnek: 10 tane -5'in çarpımı (-5) üzeri 10 şeklinde yazılır.
  • Toplama işlemi ile çarpma işlemi karıştırılmamalıdır. Örneğin, n tane A'nın toplamı n çarpı A'dır.

Tahtadaki formüller

  • A.A.A... =AB(Btane)= A^B (B tane)
  • 2.2.2...=28(8tane)2.2.2... = 2^8 (8 tane)
  • (−5).(−5)...=(−5)10(10tane)(-5).(-5)... = (-5)^{10} (10 tane)
  • 0+0+0...=n.0(ntane)0+0+0... = n.0 (n tane)
  • 2+2+2+...=2.8=16(8tane)2+2+2+... = 2.8 = 16 (8 tane)

02:26Üslü Sayıların Özellikleri - Bölüm 1

  • Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'dir. (0 üzeri 0 belirsizdir).
  • Negatif bir tam sayının çift kuvveti pozitiftir.
  • Parantezin önemi: (-2) kare = (-2) çarpı (-2) = 4 iken, -2 kare = -(2 çarpı 2) = -4'tür. Parantez, işaretin de kuvvete dahil olduğunu gösterir.

Tahtadaki formüller

  • 00=0^0 = belirsiz
  • 20=12^0 = 1
  • (−5)0=1(-5)^0 = 1
  • (kök 7 - kök 5/28)0=15 / 2^8)^0 = 1
  • (−2)4=24=16(-2)^4 = 2^4 = 16
  • (−3)2=32=9(-3)^2 = 3^2 = 9
  • (−2)2=(−2).(−2)=4(-2)^2 = (-2).(-2) = 4
  • −22=−2.2=−4-2^2 = -2.2 = -4

Önemli: Parantezin kullanımına dikkat edin, işaretin sonucunu değiştirir.

04:39Üslü Sayıların Özellikleri - Bölüm 2

  • Toplama ve çıkarma işlemi yapılırken, aynı üssün parantezine alınır veya en küçük üssün parantezine alınır.
  • Üslü ifadelerde tabanlar aynı ise çarpılırken üsler toplanır.
  • Üsler toplanmışsa, ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz.

Tahtadaki formüller

  • 26+27+28=26(1+21+22)=26.72^6 + 2^7 + 2^8 = 2^6(1 + 2^1 + 2^2) = 2^6.7
  • 5−4+5−5+5−6=5−6(52+51+1)5^{-4} + 5^{-5} + 5^{-6} = 5^{-6}(5^2 + 5^1 + 1)
  • 2−7+2−9+2−11=2−11(24+22+1)2^{-7} + 2^{-9} + 2^{-11} = 2^{-11}(2^4 + 2^2 + 1)
  • ax.ay=ax+ya^x . a^y = a^{x+y}
  • 2x−2.2−x+5=2x−2−x+5=232^{x-2} . 2^{-x+5} = 2^{x-2-x+5} = 2^3
  • 2−2.2−3.2−4=2−2−3−4=2−92^{-2} . 2^{-3} . 2^{-4} = 2^{-2-3-4} = 2^{-9}
  • 2x+2=2x.22=4.2x2^{x+2} = 2^x . 2^2 = 4 . 2^x
  • 3x−1=3x.3−1=3x.1/33^{x-1} = 3^x . 3^{-1} = 3^x . 1/3

Önemli: ÖSYM bu bölümden rasyonel formatta işlem sorusu sorabilir. En küçük üssün parantezine alma tekniği önemlidir.

09:08Üslü Sayıların Özellikleri - Bölüm 3

  • Bölme işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.
  • Bir kesrin (a/b) üzeri x şeklinde bir kuvveti varsa, bu kuvvet hem paya hem de paydaya dağıtılabilir (axa^x / bxb^x).
  • Negatif üs varsa, kesir ters çevrilerek üs pozitif hale getirilir.
  • A pozitif olmak şartıyla, (a üzeri x) üzeri y = a üzeri (x çarpı y) şeklinde üsler çarpılır.

Tahtadaki formüller

  • ax/ay=ax−ya^x / a^y = a^{x-y}
  • 27/25=27−5=22=42^7 / 2^5 = 2^{7-5} = 2^2 = 4
  • 3−2/3−1=3−2−(−1)=3−1=1/33^{-2} / 3^{-1} = 3^{-2-(-1)} = 3^{-1} = 1/3
  • (a/b)x=ax/bx(a/b)^x = a^x / b^x
  • (2/3)−2=(3/2)2=32/22=9/4(2/3)^{-2} = (3/2)^2 = 3^2 / 2^2 = 9/4
  • ((ax)y)=ax.y((a^x)^y) = a^{x.y}
  • (23)−2=2−6(2^3)^{-2} = 2^{-6}
  • (2x−3).(2x+1)−2=2−3x.2−2x−2=2−5x−2(2^{x-3}) . (2^{x+1})^{-2} = 2^{-3x} . 2^{-2x-2} = 2^{-5x-2}

Önemli: Bölme işleminde üsler çıkarılırken işaretlere dikkat edilmeli. Negatif üs durumunda kesrin ters çevrilmesi önemlidir. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır, ancak tabanın pozitif olması şarttır.

12:00Tabanları Aynı Olan Üslü Denklemlerin Üsleri Birbirine Eşittir

  • Eğer tabanlar aynı ise, üslü denklemlerde üsler birbirine eşitlenir.
  • Örnekte 2x−12^{x-1} = 8x8^x denklemi çözülürken, 8 sayısı 232^3 olarak yazılır.
  • Üsler çarpılarak 2x−12^{x-1} = 23x2^{3x} elde edilir.
  • Tabanlar aynı olduğu için üsler eşitlenir: x-1 = 3x.
  • Denklem çözüldüğünde x = -1/2 bulunur.

Tahtadaki formüller

  • ax=aya^x = a^y ise x=yx = y
  • 2x−1=8x2^{x-1} = 8^x
  • 2x−1=(23)x2^{x-1} = (2^3)^x
  • 2x−1=23x2^{x-1} = 2^{3x}
  • x−1=3xx-1 = 3x
  • −1=2x-1 = 2x
  • x=−1/2x = -1/2

Önemli: Tabanları farklı olan sayıları aynı tabana çevirerek üsleri eşitleme yöntemi önemlidir.

12:14Üsler Eşitse

  • Eğer axa^x = bxb^x ifadesinde üsler eşitse, iki durum söz konusudur.
  • I. x tek sayı ise a = b'dir.
  • II. x çift sayı ise a = b ya da a = -b'dir (mutlak değer gibi düşünülür).
  • Örnekte (x-1)^(2x+4) = (2x+4)^4 denklemi çözülürken, üsler çift olduğu için iki farklı durum incelenir.
  • Birinci durumda tabanlar eşitlenir: x-1 = 2x+4, buradan x = -5 bulunur.
  • İkinci durumda tabanlar birbirinin eksilisine eşitlenir: x-1 = -(2x+4), buradan x = -1 bulunur.
  • x'in alabileceği değerler toplamı -5 + (-1) = -6'dır.

Tahtadaki formüller

  • x tek sayı ise a=ba = b
  • x çift sayı ise a=ba = b ya da a=a = -b
  • (x−1)4=(2x+4)4(x-1)^4 = (2x+4)^4
  • x−1=2x+4x-1 = 2x+4
  • −5=x-5 = x
  • x−1=−(2x+4)x-1 = -(2x+4)
  • x−1=−2x−4x-1 = -2x-4
  • 3x=−33x = -3
  • x=−1x = -1

Önemli: Üsler çift sayı olduğunda tabanların hem kendisine hem de eksilisine eşitlenmesi gerektiğini unutmamak gerekir.

16:27Tabanları ve Üsleri Farklı Denklemler

  • Eğer axa^x = byb^y şeklinde bir denklemde a ve b aralarında asal sayılar ise, bu eşitliğin sağlanması için üslerin (x ve y) sıfır olması gerekir.
  • Örnekte 5x+y−35^{x+y-3} = 7x−y+107^{x-y+10} denklemi verilmiştir.
  • 5 ve 7 aralarında asal olduğu için üsler sıfıra eşitlenir: x+y-3 = 0 ve x-y+10 = 0.
  • Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında y'ler birbirini götürür ve 2x+7 = 0 bulunur, buradan x = -7/2 elde edilir.
  • x değeri ilk denklemde yerine yazıldığında y = 13/2 bulunur.
  • x ve y'nin çarpımı (-7/2) * (13/2) = -91/4'tür.

Tahtadaki formüller

  • ax=by(aa^x = b^y (a ve b aralarında asal ise)
  • x=0,y=0x = 0, y = 0
  • 5x+y−3=7x−y+105^{x+y-3} = 7^{x-y+10}
  • x+y−3=0x+y-3 = 0
  • x−y+10=0x-y+10 = 0
  • 2x+7=02x+7 = 0
  • x=−7/2x = -7/2
  • y=13/2y = 13/2
  • x∗y=−91/4x * y = -91/4

Önemli: Aralarında asal tabanlara sahip üslü ifadelerin eşit olabilmesi için üslerinin sıfır olması kuralı kritik bir bilgidir.

19:11Verilen Bir Üslü İfadeyi Kullanarak Başka Bir Üslü İfadeyi Bulma

  • 2x+12^{x+1} = 6 eşitliği verilmişse, 8x8^x ifadesinin değeri sorulmaktadır.
  • Verilen eşitlik 2x2^x * 212^1 = 6 şeklinde açılır.
  • Denklem sadeleştirildiğinde 2x2^x = 3 bulunur.
  • İstenen 8x8^x ifadesi (232^3)^x olarak yazılabilir.
  • Üslerin yerleri değiştirilerek (2x2^x)^3 şeklinde ifade edilir.
  • 2x2^x yerine 3 yazıldığında 333^3 = 27 elde edilir.

Tahtadaki formüller

  • 2x+1=62^{x+1} = 6
  • 2x∗2=62^x * 2 = 6
  • 2x=32^x = 3
  • 8x=(23)x8^x = (2^3)^x
  • 8x=(2x)38^x = (2^x)^3
  • 8x=338^x = 3^3
  • 8x=278^x = 27

Önemli: Üslü ifadelerde taban ve üslerin yer değiştirebilme özelliği (ama^m)^n = (ana^n)^m, bu tür sorularda çözüm için anahtardır.

20:38Üslü Bir İfade Ne Zaman 1'e Eşit Olur?

  • aba^b = 1 eşitliğinin üç farklı durumu vardır:
  • I. Üs (b) sıfır ise (ancak taban (a) sıfır olamaz, yani 000^0 belirsizdir).
  • II. Taban (a) bir ise (1'in tüm kuvvetleri 1'dir).
  • III. Taban (a) eksi bir ise (ancak üs (b) çift sayı olmalıdır).
  • Örnekte (x-2)^(x-1) = 1 denklemi için bu üç durum incelenir.
  • 1. Durum: x-1 = 0 ise x = 1. Yerine yazıldığında (-1)^0 = 1 sağlar.
  • 2. Durum: x-2 = 1 ise x = 3. Yerine yazıldığında 121^2 = 1 sağlar.
  • 3. Durum: x-2 = -1 ise x = 1. Yerine yazıldığında (-1)^0 = 1 sağlar.
  • Farklı x değerleri toplamı 1 + 3 = 4'tür.

Tahtadaki formüller

  • ab=1a^b = 1 ise
  • I. b=0b = 0 ancak a ≠ 0
  • II. a=1a = 1
  • III. a=−1a = -1 ancak b çift
  • (x−2)x−1=1(x-2)^{x-1} = 1
  • 1)x−1=0=>x=11) x-1 = 0 => x = 1 (sağlar: (−1)0=1)(-1)^0 = 1)
  • 2)x−2=1=>x=32) x-2 = 1 => x = 3 (sağlar: 12=1)1^2 = 1)
  • 3)x−2=−1=>x=13) x-2 = -1 => x = 1 (sağlar: (−1)0=1)(-1)^0 = 1)
  • Sağlayan farklı x değerleri toplamı: 1+3=41 + 3 = 4

Önemli: Üslü bir ifadenin 1'e eşit olma koşulları, özellikle tabanın -1 olduğu durumda üssün çift olma şartı, gözden kaçırılmamalıdır.

24:00Üslü Sayılarda Oranlama Yöntemi

  • İki üslü ifade eşitliğinde, tabanlar aynı olacak şekilde düzenlenir.
  • Üslerin birbirine oranı, diğer üslerin birbirine oranına eşittir.

Tahtadaki formüller

  • ax=bya^x = b^y
  • ak=bma^k = b^m
  • x/k = y/m
  • 2x−1=2722^{x-1} = 27^2
  • 8x=98^x = 9
  • 2x−1=(33)22^{x-1} = (3^3)^2
  • (23)x=32(2^3)^x = 3^2
  • 2x−1=362^{x-1} = 3^6
  • 23x=322^{3x} = 3^2
  • (x−1)/(3x)=6/2(x-1)/(3x) = 6/2
  • (x−1)/(3x)=3(x-1)/(3x) = 3
  • x−1=9xx-1 = 9x
  • −1=8x-1 = 8x
  • x=−1/8x = -1/8

Önemli: İkili üslü ifadelerde, altlar eşit olacak şekilde düzenlenip üslerin oranları eşitlenir.

26:34Üslü Sayılarda Temel Soru Tipleri

  • Çarpım durumundaki aynı sayıların üslü ifadesi, sayının adedi üs olarak yazılır.
  • Toplama durumundaki aynı sayıların üslü ifadesi, sayının kendisi ile adedi çarpılarak yazılır.
  • Bölüm durumunda tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.

Tahtadaki formüller

  • 3.3.3...(16tane)=3163.3.3... (16 tane) = 3^{16}
  • 3+3+3...+3(27tane)=3.273+3+3...+3 (27 tane) = 3.27
  • 316/(3.33)=316/34=3123^{16} / (3.3^3) = 3^{16} / 3^4 = 3^{12}

Önemli: Çarpma ve toplama durumundaki üslü ifadeler karıştırılmamalıdır.

27:35Üslü Sayılarda Bölme İşlemi ve Değer Verme

  • Bölüm durumundaki üslü ifadelerde tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.
  • İşlem sonucunun x'e bağlı olmadığı durumlarda, x'e değer verilerek işlem kolaylaştırılabilir.

Tahtadaki formüller

  • 2x+2/2x−1=2(x+2)−(x−1)=2x+2−x+1=232^{x+2} / 2^{x-1} = 2^{(x+2)-(x-1)} = 2^{x+2-x+1} = 2^3
  • 8x−2/8x−3=8(x−2)−(x−3)=8x−2−x+3=818^{x-2} / 8^{x-3} = 8^{(x-2)-(x-3)} = 8^{x-2-x+3} = 8^1
  • (23)/(81)=8/8=1(2^3) / (8^1) = 8/8 = 1
  • x=3x=3 için:
  • 25/22=32/4=82^5 / 2^2 = 32/4 = 8
  • 81/80=8/1=88^1 / 8^0 = 8/1 = 8
  • 8/8=18/8 = 1

Önemli: x'e değer verirken, ifadelerin negatif üslü olmamasına dikkat edilmelidir.

30:00Üslü Sayılarda Paranteze Alma ve Sadeleştirme

  • Üslü ifadelerin toplama veya çıkarma işlemlerinde, en küçük üslü ifadenin parantezine alınır.
  • Paranteze alındıktan sonra ortak çarpanlar sadeleştirilir.
  • Özel bir kural olarak, ardışık üslü ifadelerin oranında, paydaki en küçük üslü ifade ile paydadaki en küçük üslü ifadenin oranı doğrudan cevabı verir.

Tahtadaki formüller

  • (53+54+55)/(5−7+5−8+5−9)(5^3 + 5^4 + 5^5) / (5^{-7} + 5^{-8} + 5^{-9})
  • 53∗(1+51+52)/(5−9∗(52+51+1))5^3 * (1 + 5^1 + 5^2) / (5^{-9} * (5^2 + 5^1 + 1))
  • 53/5−95^3 / 5^{-9}
  • 53−(−9)=53+9=5125^{3 - (-9)} = 5^{3 + 9} = 5^{12}
  • Özel yol: 53/5−9=5125^3 / 5^{-9} = 5^{12}

Önemli: En küçük üssün parantezine alma yöntemi, karmaşık üslü ifadelerin sadeleştirilmesinde oldukça etkilidir.

30:23Üslü Sayılarda Özel Toplama ve Çıkarma Kuralları

  • x-y ve y-x gibi birbirinin zıttı üslü ifadeler içeren toplama işlemlerinde, x ve y'ye değer verilerek sonuç bulunabilir.
  • Özel bir kural olarak, a / (1 - bxb^x) + a / (1 - b−xb^{-x}) şeklindeki ifadelerin cevabı doğrudan 'a'dır.

Tahtadaki formüller

  • 5/(1−3x−y)+5/(1−3y−x)5 / (1 - 3^{x-y}) + 5 / (1 - 3^{y-x})
  • x=2,y=1x=2, y=1 için:
  • 5/(1−31)+5/(1−3−1)5 / (1 - 3^1) + 5 / (1 - 3^{-1})
  • 5 / (1 - 3) + 5 / (1 - 1/3)
  • 5 / (-2) + 5 / (2/3)
  • −5/2+15/2=10/2=5-5/2 + 15/2 = 10/2 = 5
  • Özel yol: a/(1−bx)+a/(1−b−x)=aa / (1 - b^x) + a / (1 - b^{-x}) = a

Önemli: Bu tip sorularda x ve y'ye değer vererek veya özel kuralı kullanarak hızlıca sonuca ulaşılabilir.

Matematik dersindeki diğer konu özetleri

Matematik özetlerinin tümü →

Kendi ders videondan böyle bir özet çıkar

Bağlantıyı yapıştır; zaman damgalı konu özetini, akıl kartlarını ve o konudan soru bankasını çıkaralım.

Akıllı Özetleyici'yi aç →