00:05Olasılığa Giriş ve Temel Kavramlar
- Olasılık, istenen durumların tüm durumlara oranıdır.
- Permütasyon ve kombinasyon, olasılık hesaplamalarında kullanılır.
- Bir zarın tüm durumları 6'dır (6 üzeri 1).
- İki zarın tüm durumları 36'dır (6 üzeri 2).
- Üç zarın tüm durumları 216'dır (6 üzeri 3).
- N zarın tüm durumları 6 üzeri N'dir.
- Bir madeni paranın tüm durumları 2'dir (2 üzeri 1).
- İki madeni paranın tüm durumları 4'tür (2 üzeri 2).
- Üç madeni paranın tüm durumları 8'dir (2 üzeri 3).
- N madeni paranın tüm durumları 2 üzeri N'dir.
- Torbadaki toplar veya gruptaki kişiler gibi durumlarda evrensel küme, toplam eleman sayısıdır.
Tahtadaki formüller
- Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum
- 1 zar için tüm durum = 6
- 2 zar için tüm durum = 6²
- 3 zar için tüm durum = 6³
- N zar için tüm durum = 6ᴺ
- 1 madeni para için tüm durum = 2
- 2 madeni para için tüm durum = 2²
- 3 madeni para için tüm durum = 2³
- N madeni para için tüm durum = 2ᴺ
Önemli: Olasılık konusunda ÖSYM genellikle 1 veya maksimum 2 soru sormaktadır (biri olasılık, diğeri kombinasyon/permütasyon).
03:30Olasılığın Özellikleri
- Olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır (0 ≤ olasılık ≤ 1).
- 0 olasılık imkansız olayı, 1 olasılık kesin olayı ifade eder.
- Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir.
- Veya bağlacı kümelerdeki birleşim gibi düşünülür: P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(A ve B).
- Ve bağlacı kümelerdeki kesişim gibi düşünülür: P(A ve B) = P(A) * P(B) (bağımsız olaylar için).
Tahtadaki formüller
- 0 ≤ Olasılık ≤ 1
- O(A) + O(A') = 1
- O(A veya B) = O(A) + O(B) - O(A ve B)
- O(A ve B) = O(A) * O(B)
Önemli: Bir işlemin sonucunda olasılık 0'dan küçük veya 1'den büyük çıkarsa işlem hatalıdır.
05:40Olasılık Soru Çözümleri: Torbadan Top Çekme (Tek Çekim)
- Bir torbada 5 mavi, 3 kırmızı top vardır.
- Çekilen bir topun mavi gelme olasılığı: İstenen durum (mavi top sayısı) / Tüm durum (toplam top sayısı).
- 5 mavi top / 8 toplam top = 5/8.
Tahtadaki formüller
- Olasılık = İstenen durum / Tüm durum
- 5M, 3K
- Olasılık = 5/8
Önemli: Olasılık hesaplamalarında istenen durum ve tüm durumun doğru belirlenmesi esastır.
06:53Olasılık Soru Çözümleri: Torbadan Top Çekme (Sıralı ve Geri Atılmamak Şartıyla İki Çekim)
- Çekilen birinci topun mavi, ikinci topun kırmızı gelme olasılığı: Birinci çekim mavi, ikinci çekim kırmızı.
- Birinci top mavi gelme olasılığı: 5 mavi top / 8 toplam top = 5/8.
- Bir top çekildiği ve geri atılmadığı için torbadaki top sayısı 7'ye düşer.
- İkinci top kırmızı gelme olasılığı: 3 kırmızı top / 7 kalan top = 3/7.
- İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı: (5/8) * (3/7) = 15/56.
Tahtadaki formüller
- 1. top: 5/8
- 2. top: 3/7
- Çarpım: 15/56
Önemli: Geri atılmamak şartıyla yapılan çekimlerde, her çekimden sonra toplam top sayısı ve ilgili renk top sayısı azalır.
08:21Olasılık Soru Çözümleri: Torbadan Top Çekme (Sıralı ve Geri Atılmamak Şartıyla Üç Çekim)
- Geri atılmamak şartıyla üç top alınıyor: birinci kırmızı, ikinci mavi, üçüncü kırmızı gelme olasılığı.
- Birinci top kırmızı: 3 kırmızı top / 8 toplam top = 3/8. (Torbadan 1 kırmızı top eksildi, 2 kırmızı top kaldı, toplam 7 top kaldı).
- İkinci top mavi: 5 mavi top / 7 kalan top = 5/7. (Torbadan 1 mavi top eksildi, 4 mavi top kaldı, toplam 6 top kaldı).
- Üçüncü top kırmızı: 2 kırmızı top / 6 kalan top = 2/6.
- Üç olayın birlikte gerçekleşme olasılığı: (3/8) * (5/7) * (2/6) = 30/336 = 5/56.
Tahtadaki formüller
- K M K
- 3/8 * 5/7 * 2/6 = 5/56
Önemli: Sıralı çekimlerde her adımda torbadaki top sayıları güncellenmelidir.
10:32Olasılık Soru Çözümleri: Torbadan Top Çekme (Sırasız İki Çekim)
- Torbada iki top alınıyor, birinin mavi, diğerinin kırmızı gelme olasılığı.
- Bu durumda iki farklı senaryo vardır: (1) Birinci mavi, ikinci kırmızı VEYA (2) Birinci kırmızı, ikinci mavi.
- Birinci mavi, ikinci kırmızı olasılığı: (5/8) * (3/7) = 15/56.
- Birinci kırmızı, ikinci mavi olasılığı: (3/8) * (5/7) = 15/56.
- Toplam olasılık bu iki durumun toplamıdır: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28.
Tahtadaki formüller
- M K + K M
- 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7
- 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28
Önemli: Sıralama belirtilmediğinde, olası tüm sıralamalar ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.
12:00Permütasyon ve Kombinasyon ile Olasılık Hesaplama
- Sıralı çekim durumlarında olasılık hesaplaması yapılırken, çekilen topların sırası önemli olduğu için permütasyon mantığı kullanılır.
- Sıralama belirtilmediğinde, topların seçimi kombinasyon ile hesaplanır.
- Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum formülü kullanılır.
Tahtadaki formüller
- O = İstenen / Tüm
- P(Mavi, Kırmızı) = (5/8) * (3/7) = 15/56
- P(Kırmızı, Mavi) = (3/8) * (5/7) = 15/56
- Toplam = 15/56 + 15/56 = 30/56
- O = (C(5,1) * C(3,1)) / C(8,2)
- C(5,1) = 5
- C(3,1) = 3
- C(8,2) = (8*7)/(2*1) = 28
- O = (5*3)/28 = 15/28
Önemli: Sıralama olup olmadığına dikkat edilmelidir. Sıralama varsa permütasyon, yoksa kombinasyon kullanılır.
15:52Torbadan Üç Top Çekme Olasılığı (Kombinasyon)
- Torbadan alınan üç topun ikisinin sarı, birinin lacivert olma olasılığı hesaplanır.
- Toplam top sayısı 4 sarı, 3 lacivert, 2 pembe olmak üzere 9'dur.
- Tüm durumlar, 9 toptan 3 top seçilmesiyle bulunur (C(9,3)).
- İstenen durum, 4 sarıdan 2 sarı seçimi (C(4,2)) ve 3 lacivertten 1 lacivert seçimi (C(3,1)) ile bulunur.
Tahtadaki formüller
- O = (C(4,2) * C(3,1)) / C(9,3)
- C(4,2) = (4*3)/(2*1) = 6
- C(3,1) = 3
- C(9,3) = (9*8*7)/(3*2*1) = 3*4*7 = 84
- O = (6*3)/84 = 18/84 = 3/14
Önemli: Sıralama belirtilmediği için kombinasyon kullanmak daha basittir. Eğer sıralama olsaydı tekrarlı permütasyon da hesaba katılmalıydı.
19:08Torbadan Üç Farklı Renk Top Çekme Olasılığı (Sıralı Çekim)
- Torbadan alınan üç topun üçünün de farklı renklerde olma olasılığı hesaplanır.
- Sıralama ile düşünülürse, sarı, lacivert ve pembe gelme olasılıkları ayrı ayrı çarpılır ve bu durumların kendi içindeki yer değişimleri (3!) ile çarpılır.
- Sarı gelme olasılığı 4/9, lacivert gelme olasılığı 3/8, pembe gelme olasılığı 2/7'dir.
Tahtadaki formüller
- O = (4/9) * (3/8) * (2/7) * 3!
- O = (4*3*2)/(9*8*7) * 6
- O = 24/504 * 6 = 144/504 = 2/7
Önemli: Bu tür sorularda kombinasyon kullanmak (C(4,1)*C(3,1)*C(2,1))/C(9,3) daha pratik ve hatasız sonuç verir.
21:09Torbadan İki Top Çekme Olasılığı (Aynı Renk)
- Bir torbada 3 kırmızı, 2 beyaz ve 2 yeşil top bulunmaktadır.
- Torbadan alınan iki topun renklerinin aynı olma olasılığı hesaplanır.
- İstenen durumlar: iki kırmızı (C(3,2)), iki beyaz (C(2,2)) veya iki yeşil (C(2,2)) olmasıdır.
- Tüm durumlar, toplam 7 toptan 2 top seçilmesiyle bulunur (C(7,2)).
Tahtadaki formüller
- O = (C(3,2) + C(2,2) + C(2,2)) / C(7,2)
- C(3,2) = 3
- C(2,2) = 1
- C(7,2) = (7*6)/(2*1) = 21
- O = (3 + 1 + 1) / 21 = 5/21
Önemli: Aynı renk olma olasılığı hesaplanırken, her bir rengin ikilisinin toplamı, tüm durumların ikilisine bölünür.
24:00Torbadan Top Çekme Olasılığı (Kırmızı Olmama)
- Torbadan çekilen bir topun kırmızı olmama olasılığı, tüm durumdan kırmızı olma olasılığının çıkarılmasıyla bulunabilir.
- Alternatif olarak, kırmızı olmama durumu, beyaz veya yeşil olma durumlarının toplamı olarak da hesaplanabilir.
Tahtadaki formüller
- O = Tüm - Kırmızı
- O = 1 - 3/7 = 4/7
- B+Y = 2/7 + 2/7 = 4/7
Önemli: Olasılık sorularında 'olmama' durumları, tüm durumdan istenen durumun çıkarılmasıyla veya istenmeyen durumların toplamıyla bulunabilir.
25:27Torbalar Arası Top Transferi ve Olasılık
- A torbasından B torbasına bir top atılıyor ve sonra B torbasından bir top çekiliyor.
- A'dan B'ye atılan top siyah olabilir (3/5 olasılıkla) veya beyaz olabilir (2/5 olasılıkla).
- Eğer A'dan B'ye siyah top atılırsa, B'deki siyah top sayısı 4, toplam top sayısı 8 olur, siyah çekme olasılığı 4/8.
- Eğer A'dan B'ye beyaz top atılırsa, B'deki siyah top sayısı 3, toplam top sayısı 8 olur, siyah çekme olasılığı 3/8.
- Bu iki durumun olasılıkları toplanarak B'den siyah top çekme olasılığı bulunur.
Tahtadaki formüller
- A: 3 siyah, 2 beyaz
- B: 3 siyah, 4 beyaz
- P(Siyah A'dan Siyah B'den) = (3/5) * (4/8)
- P(Beyaz A'dan Siyah B'den) = (2/5) * (3/8)
- Toplam Olasılık = (3/5)*(4/8) + (2/5)*(3/8) = 12/40 + 6/40 = 18/40 = 9/20
Önemli: Torbalar arası top transferi durumlarında, transfer edilen topun rengine göre torbadaki top sayıları güncellenmeli ve her bir durumun olasılığı ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.
29:11Farklı Sepetlerden Aynı Cins Top Çekme Olasılığı
- Üç farklı sepetteki toplar (3 futbol, 2 voleybol) belirtilmiştir.
- Her sepetten bir top alındığında, üç topun da aynı cinsten olma olasılığı isteniyor.
- Bu durum, üç topun da futbol olması veya üç topun da voleybol olması anlamına gelir.
- Her sepetten futbol çekme olasılığı 3/5, voleybol çekme olasılığı 2/5'tir.
- Üç futbol çekme olasılığı (3/5)*(3/5)*(3/5) ve üç voleybol çekme olasılığı (2/5)*(2/5)*(2/5) olarak hesaplanır.
- Bu iki olasılık toplanarak toplam aynı cinsten top çekme olasılığı bulunur.
Tahtadaki formüller
- 3F, 2V (her sepette)
- P(3 Futbol) = (3/5) * (3/5) * (3/5) = 27/125
- P(3 Voleybol) = (2/5) * (2/5) * (2/5) = 8/125
- Toplam Olasılık = 27/125 + 8/125 = 35/125 = 7/25
Önemli: Birden fazla kaynaktan (sepet, torba) aynı anda çekim yapıldığında, her bir kaynaktan çekim olasılıkları çarpılır. Farklı senaryoların (futbol, voleybol) toplam olasılığı için bu senaryoların olasılıkları toplanır.
30:00Tek Zar Atma ve Çift Gelme Olasılığı
- Bir zar havaya atıldığında üst yüze gelen sayının çift olma olasılığı soruluyor.
- Zarın üzerinde 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları bulunur.
- Çift sayılar 2, 4, 6 olmak üzere 3 tanedir.
- Tüm olası durumlar 6 tanedir.
Tahtadaki formüller
- Zar = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- O = İstenen / Tüm
- O = 3/6 = 1/2
Önemli: Tek zar atma durumunda, istenen durum sayısı tüm durum sayısına bölünerek olasılık bulunur.
30:00İki Zar Atma ve Toplamın 4'ten Küçük Olma Olasılığı
- İki zar birlikte havaya atıldığında, üst yüze gelen sayıların toplamının 4'ten küçük olma olasılığı isteniyor.
- Toplamı 4'ten küçük olan durumlar (1,1), (1,2) ve (2,1) şeklindedir.
- İki zar atıldığında tüm olası durumlar 6x6 = 36'dır.
Tahtadaki formüller
- İstenen = {(1,1), (1,2), (2,1)}
- Tüm = 6 * 6 = 36
- O = 3/36 = 1/12
Önemli: İki zar atma durumunda, istenen toplamı veren tüm sıralı ikililer belirlenmeli ve tüm durum sayısı (6x6) ile oranlanarak olasılık hesaplanmalıdır.
30:00Üç Zar Atma ve Bir Zarın Diğer İkisinin Toplamına Eşit Olma Olasılığı
- Üç zar havaya atıldığında, bir zarın üzerindeki sayının diğer iki zarın üzerindeki sayıların toplamına eşit olma olasılığı isteniyor.
- Örnek durumlar: (2,1,1), (3,1,2), (3,2,1), (4,1,3), (4,2,2), (4,3,1) ve bu şekilde devam eden tüm permütasyonlar.
- Bu durumlar, toplamı 2 olan (1,1) için 1 durum; toplamı 3 olan (1,2), (2,1) için 2 durum; toplamı 4 olan (1,3), (2,2), (3,1) için 3 durum; toplamı 5 olan (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) için 4 durum; toplamı 6 olan (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) için 5 durum olarak listelenir.
- Toplam istenen durum sayısı bu durumların toplamıdır: 1+2+3+4+5 = 15.
- Üç zar atıldığında tüm olası durumlar 6x6x6 = 216'dır.
Tahtadaki formüller
- İstenen durumlar (bir zarın değeri, diğer iki zarın toplamı):
- 2 = (1,1) -> 1 durum
- 3 = (1,2), (2,1) -> 2 durum
- 4 = (1,3), (2,2), (3,1) -> 3 durum
- 5 = (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) -> 4 durum
- 6 = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) -> 5 durum
- Toplam İstenen = 1+2+3+4+5 = 15
- Tüm = 6 * 6 * 6 = 216
- O = 15/216 = 5/72
Önemli: Üç zar atma gibi karmaşık olasılık durumlarında, istenen koşulu sağlayan tüm olası durumlar dikkatlice listelenmeli ve her zarın permütasyonları da göz önünde bulundurulmalıdır. Ardından istenen durum sayısı tüm durum sayısına bölünerek olasılık bulunur.
36:00İki Zarın Çarpımının 5 ile Bölünebilme Olasılığı
- İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların çarpımlarının 5 ile bölünebilme olasılığı hesaplanır.
- Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için zarlardan birinin 5 gelmesi gerekir.
- Birinci zarın 5 geldiği durumlar: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) olmak üzere 6 adettir.
- İkinci zarın 5 geldiği durumlar: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5) olmak üzere 5 adettir (5,5) daha önce sayıldığı için tekrar sayılmaz).
- İstenen durum sayısı 6 + 5 = 11'dir.
- Tüm durum sayısı 6 x 6 = 36'dır.
Tahtadaki formüller
- İstenen: 5
- 5/1,2,3,4,5,6 = 6
- 1,5,2,5,3,5,4,5,6,5 = 5
- Toplam: 11
- O = 11 / (6x6) = 11/36
Önemli: Zar problemlerinde, bir durumun iki farklı şekilde sayılabileceği durumlara dikkat edilmelidir (örneğin (5,5) durumu).
38:47Beş Para Atıldığında 3 Yazı 2 Tura Gelme Olasılığı
- Beş tane para havaya atıldığında üçünün yazı, ikisinin tura gelme olasılığı hesaplanır.
- İstenen durum 'YYYTT' şeklindedir.
- Bu durumların kendi içindeki sıralaması tekrarlı permütasyon ile bulunur.
- İstenen durum sayısı 5! / (3! * 2!) = 10'dur.
- Tüm durum sayısı 2^5 = 32'dir.
- Olasılık, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.
Tahtadaki formüller
- İstenen: YYYTT
- O = 5! / (3! x 2!) / 2^5
- O = 10 / 32
- O = 5 / 16
Önemli: Para atma problemlerinde, istenen durumların kendi içindeki sıralaması tekrarlı permütasyon ile hesaplanmalıdır.
40:19Bir Para ve Bir Zar Atıldığında Para Yazı, Zar Tek Gelme Olasılığı
- Bir para ve bir zar havaya atıldığında, paranın yazı ve zarın tek gelme olasılığı hesaplanır.
- Para için yazı gelme olasılığı 1/2'dir.
- Zar için tek sayı gelme olasılığı (1, 3, 5) olmak üzere 3/6 = 1/2'dir.
- Bu iki olay birbirinden bağımsız olduğu için olasılıkları çarpılır.
Tahtadaki formüller
- O(P).O(Z)
- 1/2 . 3/6
- 1/2 . 1/2 = 1/4
Önemli: Bağımsız olaylarda, istenen durumların olasılıkları çarpılarak genel olasılık bulunur.