00:05Kümelerde İşlemler ve Veya Bağlacı
- Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemleri önemlidir.
- A birleşim B ifadesi iki farklı şekilde yazılabilir: A fark B + A kesişim B + B fark A veya S(A) + S(B) - S(A kesişim B).
- Matematikte 'veya' bağlacı birleşim anlamına gelir.
Tahtadaki formüller
- S(AUB) = S(A\B) + S(A∩B) + S(B\A)
- S(AUB) = S(A) + S(B) - S(A∩B)
Önemli: Veya bağlacının matematikte birleşim anlamına geldiği unutulmamalıdır.
01:284 Elemanlı Alt Kümelerde 1 Veya 2 Elemanın Bulunması
- A kümesi {1, 2, 3, 4, 5} olarak verilmiştir.
- 4 elemanlı alt kümelerin kaç tanesinde 1 veya 2 eleman olarak bulunur sorusu, birleşim işlemiyle çözülür.
- 1'in bulunduğu alt küme sayısı C(4,3) = 4'tür.
- 2'nin bulunduğu alt küme sayısı C(4,3) = 4'tür.
- 1 ve 2'nin birlikte bulunduğu alt küme sayısı C(3,2) = 3'tür.
- Toplam 1 veya 2'nin bulunduğu alt küme sayısı (1'in bulundukları) + (2'nin bulundukları) - (1 ve 2'nin bulundukları) formülüyle bulunur.
Tahtadaki formüller
- C(4,3) = 4
- C(3,2) = 3
- S(1 U 2) = S(1) + S(2) - S(1 ∩ 2)
- S(1 U 2) = 4 + 4 - 3 = 5
Önemli: Veya bağlacı kullanıldığında, elemanların ayrı ayrı bulunduğu durumlar toplanır ve her ikisinin de bulunduğu durumlar çıkarılır.
04:40İki Basamaklı Doğal Sayılarda 'Ve' Bağlacı
- İki basamaklı doğal sayıların kaç tanesi 3 ve 5 ile tam bölünür sorusu, kesişim işlemiyle çözülür.
- 'Ve' bağlacı matematikte kesişim anlamına gelir.
- Hem 3'e hem de 5'e bölünen sayılar, 15'in katlarıdır.
- İki basamaklı 15'in katları: 15, 30, 45, 60, 75, 90'dır.
Önemli: 'Ve' bağlacı kullanıldığında, her iki koşulu da sağlayan elemanlar (kesişim) aranır.
05:53İki Basamaklı Doğal Sayılarda Fark İşlemi
- İki basamaklı doğal sayıların kaç tanesi 2 ile bölündüğü halde 3 ile bölünmez sorusu, fark işlemiyle çözülür.
- Bu durum, 2 ile bölünen sayılardan, hem 2 hem de 3 ile bölünen sayıları çıkarmak anlamına gelir.
- 2 ile bölünen iki basamaklı sayılar: 10, 12, ..., 98'dir. Terim sayısı formülüyle 45 tanedir.
- Hem 2 hem de 3 ile bölünen (yani 6 ile bölünen) iki basamaklı sayılar: 12, 18, ..., 96'dır. Terim sayısı formülüyle 15 tanedir.
- Sadece 2 ile bölünenler = (2 ile bölünenler) - (2 ve 3 ile bölünenler).
Tahtadaki formüller
- Ts = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1
- Ts(2 ile bölünen) = (98 - 10) / 2 + 1 = 88 / 2 + 1 = 44 + 1 = 45
- Ts(2 ve 3 ile bölünen) = (96 - 12) / 6 + 1 = 84 / 6 + 1 = 14 + 1 = 15
- Cevap = 45 - 15 = 30
Önemli: Bir sayının bir şeye bölünüp diğerine bölünmemesi durumu, küme farkı olarak düşünülmelidir.
10:19A ve B Kümelerinin Kesişimi (x ve y'nin Katları)
- A kümesi: 10 < x < 120 aralığında 3'ün katı doğal sayılar.
- B kümesi: 5 < y < 90 aralığında 5'in katı doğal sayılar.
- A kesişim B, hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayıları ifade eder, yani 15'in katlarıdır.
- Kesişim kümesinin elemanları, her iki kümenin de koşullarını sağlamalıdır.
Önemli: Kesişim kümesinin elemanları, her iki kümenin de tanım aralığı ve kat özelliğini aynı anda sağlamalıdır.
12:00Kesişim Kümesi Bulma
- A kümesi 10 < x < 120 ve x, 3'ün katı doğal sayılar.
- B kümesi 5 < y < 90 ve y, 5'in katı doğal sayılar.
- A kesişim B kümesi, her iki aralıkta ortak olan ve hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayılardır.
- Bu, 15'in katı olan sayılar demektir.
- A kesişim B kümesi 10 < x < 90 ve x, 15'in katı doğal sayılar olarak bulunur.
Tahtadaki formüller
- A = {x | 10 < x < 120, x "," 3N}
- B = {y | 5 < y < 90, y "," 5N}
- A "," B = {x | 10 < x < 90, x "," 15N}
Önemli: Kesişim kümesi bulunurken her iki kümenin ortak aralığı ve ortak katları alınır.
12:35A Kesişim B Kümesinin Elemanları
- 10 ile 90 arasındaki 15'in katı olan sayılar: 15, 30, 45, 60, 75.
- Bu kümede toplam 5 eleman vardır.
Tahtadaki formüller
- 15, 30, 45, 60, 75
Önemli: Aralıkta eşitsizlik olmadığı için uç noktalar dahil edilmez.
13:13Aralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterimi
- A kümesi [2, 11) aralığıdır, yani 2 dahil, 11 hariç.
- B kümesi (-1, 4] aralığıdır, yani -1 hariç, 4 dahil.
- Sayı doğrusunda dahil olan noktalar içi dolu, hariç olan noktalar içi boş daire ile gösterilir.
Tahtadaki formüller
- A = [2, 11)
- B = (-1, 4]
Önemli: Kapalı parantez 'dahil', açık parantez 'hariç' anlamına gelir.
15:10A Fark B Kümesi
- A fark B, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardır.
- Sayı doğrusunda A'nın B ile kesişmeyen kısmı alınır.
- Bu durumda A fark B, (4, 11) aralığıdır.
- 4, B'nin elemanı olduğu için A fark B'ye dahil edilmez ve açık parantez ile gösterilir.
Tahtadaki formüller
- A \ B = (4, 11)
Önemli: Fark kümesinde, çıkarılan kümenin dahil olan uç noktası, kalan kümede hariç olur.
16:45A Kesişim B Kümesi
- A kesişim B, her iki kümenin ortak elemanlarıdır.
- Sayı doğrusunda her iki kümenin kesiştiği aralık [2, 4] olarak belirlenir.
- 2, A kümesinde dahil, B kümesinde de bu aralığa denk geldiği için dahildir.
- 4, B kümesinde dahil, A kümesinde de bu aralığa denk geldiği için dahildir.
Tahtadaki formüller
- A "," B = [2, 4]
Önemli: Kesişimde her iki kümede de dahil olan uç noktalar, kesişimde de dahil olur.
17:25B Fark A ve Birleşim Kümesi
- B fark A, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlardır.
- Bu durumda B fark A, (-1, 2) aralığıdır.
- 2, A kümesinde dahil olduğu için B fark A'ya dahil edilmez ve açık parantez ile gösterilir.
- Birleşim kümesi A "," B, her iki kümenin tüm elemanlarını kapsar ve (-1, 11) aralığı olur.
Tahtadaki formüller
- B \ A = (-1, 2)
- A "," B = (-1, 11)
Önemli: Birleşim kümesinde en küçük ve en büyük uç noktalar dikkate alınır.
17:48Kaç Farklı B Kümesi Oluşturulabilir (1)
- A kümesi {1, 2, 3} ve A birleşim B kümesi {1, 2, 3, 4, 5} olarak verilmiş.
- B kümesinde kesinlikle 4 ve 5 elemanları olmalıdır, çünkü A kümesinde bu elemanlar yoktur ve birleşim kümesinde bulunurlar.
- A kümesinin elemanları olan {1, 2, 3} elemanları B kümesinde olabilir veya olmayabilir.
- Bu üç elemanla (1, 2, 3) oluşturulabilecek alt küme sayısı kadar farklı B kümesi yazılabilir.
- 3 elemanla 2^3 = 8 farklı alt küme oluşturulabilir, dolayısıyla 8 farklı B kümesi vardır.
Tahtadaki formüller
- A = {1, 2, 3}
- A "," B = {1, 2, 3, 4, 5}
- 2^3 = 8
Önemli: Birleşim kümesinde olup A'da olmayan elemanlar kesinlikle B'de olmalıdır. A'daki elemanların B'de olup olmaması, B'nin farklı alt kümelerini oluşturur.
20:12Kaç Farklı B Kümesi Oluşturulabilir (2)
- A kümesi {a, b} ve C kümesi {a, b, c, d, e, f} olarak verilmiş.
- A "," B "," C koşulu, A'nın B'nin alt kümesi ve B'nin C'nin alt kümesi olduğunu belirtir.
- B kümesinin içinde kesinlikle {a, b} elemanları bulunmalıdır.
- C kümesindeki {c, d, e, f} elemanları B kümesinde olabilir veya olmayabilir.
- Bu 4 elemanla (c, d, e, f) oluşturulabilecek alt küme sayısı kadar farklı B kümesi yazılabilir.
- 4 elemanla 2^4 = 16 farklı alt küme oluşturulabilir, dolayısıyla 16 farklı B kümesi vardır.
Tahtadaki formüller
- A = {a, b}
- C = {a, b, c, d, e, f}
- A "," B "," C
- 2^4 = 16
Önemli: Alt küme ilişkisinde, dıştaki kümenin içteki kümede olmayan elemanları, ara kümenin olası elemanlarını belirler.
22:00Eşit Olmama Durumu
- Eğer soruda A "," B "," C koşulu ile birlikte A "," B "," C ifadesi olsaydı, bu durumda A, B'ye eşit olamaz ve B, C'ye eşit olamaz anlamına gelirdi.
- Bu durumda, 16 farklı B kümesinden, A'ya eşit olan bir B kümesi ve C'ye eşit olan bir B kümesi çıkarılırdı.
- Yani 16 - 2 = 14 farklı B kümesi olurdu.
Tahtadaki formüller
- A "," B "," C
- A "," B "," C
Önemli: Eşit olmama durumu, alt küme sayısından eşit olan durumların çıkarılmasıyla hesaplanır.
24:00Taralı Bölgeyi İfade Etme
- Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden şıkkı bulmak için her bir bölgeye sayı değeri verilir.
- A şıkkı: (B-A) ∩ C ifadesi (4,5) ∩ (1,2,3,4) kümesinin kesişimi 4'tür.
- B şıkkı: (A ∩ B') - (A ∩ B) ifadesi ((2,3) ∩ (1,2)) - (3) kümesinin farkı 2'dir.
- C şıkkı: (A' - B) ∩ C ifadesi ((1,4,5) - (3,4,5)) ∩ (1,2,3,4) kümesinin kesişimi boş kümedir.
- D şıkkı: (A ∩ B) ∩ B' ifadesi (3) ∩ (1,2) kümesinin kesişimi boş kümedir.
- E şıkkı: A ∩ B ∩ C ifadesi 3'tür.
Tahtadaki formüller
- (B-A) ∩ C = {4,5} ∩ {1,2,3,4} = {4}
- (A' ∩ B') - (A ∩ B) = ({1,4,5} ∩ {1,2}) - {3} = {1} - {3} = {1}
- (A' - B) ∩ C = ({1,4,5} - {3,4,5}) ∩ {1,2,3,4} = {1} ∩ {1,2,3,4} = {1}
- (A ∩ B) ∩ B' = {3} ∩ {1,2} = "boş küme"
- A ∩ B ∩ C = {3}
Önemli: ÖSYM bu tarz soruları sorabilir, dikkatli olun.
27:40Küme Problemleri - Evrensel Küme ve Alt Kümeler
- A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
- s(A' ∩ B) = 8 ve s(A ∪ B)' = 4 ve s(E) = 13 bilgileri verilmiştir.
- A ∪ B' tümleyeni 4 ise, bu A ∪ B kümesinin dışındaki eleman sayısıdır.
- A' ∩ B ifadesi, A kümesinin dışındaki elemanlarla B kümesinin kesişimidir, yani sadece B'ye ait olan elemanlardır.
- Evrensel kümenin eleman sayısı 13'tür.
- A kümesinin eleman sayısı 1'dir.
Tahtadaki formüller
- s(A' ∩ B) = 8
- s(A ∪ B)' = 4
- s(E) = 13
- A + B + C = 1
- s(A) = 1
Önemli: Bu tür sorularda kümeleri çizmek ve bölgelere harf veya sayı atamak çözüm için önemlidir.
30:02Küme Problemleri - Terminoloji
- Küme problemleri, işlem tarzı ve problem tarzı olarak ikiye ayrılır.
- Çözüm için her zaman kümeleri ve evrensel kümeyi çizin.
- Futbol oynayanlar: x + y
- Basketbol oynayanlar: y + z
- Futbol ve basketbol oynayanlar: y
- Yalnız futbol oynayanlar: x
- Yalnız basketbol oynayanlar: z
- Futbol veya basketbol oynayanlar (birleşim): x + y + z
- Futbol veya basketbol oynamayanlar: k
- Futbol oynamayanlar: z + k
- Basketbol oynamayanlar: x + k
- Bu oyunlardan en az birini oynayan: x + y + z
- Bu oyunlardan en çok birini oynayan: x + z + k
Önemli: Küme problemlerinde terimlerin doğru anlaşılması ve bölgelerin doğru ifade edilmesi kritik öneme sahiptir.
32:30Küme Problemleri - Sınıf Başarısı
- 24 kişilik bir sınıfta geometri dersinde başarılı 16, sadece matematik dersinden başarılı 4 kişi vardır.
- Hem geometri hem de matematikten başarısız olan kişi sayısı 4'tür.
- Geometri dersinden başarılı olanlar 16 kişidir.
- Sadece matematik dersinden başarılı olanlar 4 kişidir.
- Toplam başarılı öğrenci sayısı 16 (geometri) + 4 (sadece matematik) = 20 kişidir.
- Sınıf mevcudu 24 kişi olduğuna göre, 24 - 20 = 4 kişi hem geometri hem de matematikten başarısız olmuştur.
Tahtadaki formüller
- G = 16
- M = 4
Önemli: Başarısız olanlar, başarılı olanların dışında kalanlardır.
36:00Matematik ve Türkçe Derslerinden Geçenler/Kalanlar
- Matematik ve Türkçe derslerinden geçenler ve kalanların bulunduğu 27 kişilik bir sınıf vardır.
- Yalnız matematikten geçen 7 kişi, matematikten kalan 13 kişi olduğu bilgileri verilmiştir.
- Matematikten kalanlar, matematiğin dışındaki tüm elemanlardır (Türkçe'den geçen ve hiçbirinden geçmeyenler).
- b + c = 13 olarak ifade edilir.
- Tüm sınıf 27 kişi olduğuna göre, 7 + a + b + c = 27 denklemi kurulur.
- a = 7 bulunur, yani her iki dersten de geçen kişi sayısı 7'dir.
Tahtadaki formüller
- b + c = 13
- 7 + a + b + c = 27
- a = 7
Önemli: Soruyu çözerken, 'kalan' ve 'geçen' kavramlarını doğru bölgelere yerleştirmek önemlidir.
36:33Yüzde Problemi - Matematik ve Türkçe
- Bir grup öğrencinin %70'i Matematik, %40'ı Türkçe dersini seçmiştir.
- %20'si her iki dersi de seçmeli ders olarak seçmiştir.
- Yalnız Matematik dersini seçen 80 kişi olduğuna göre, her iki dersi de seçmeyen öğrenci sayısı sorulmaktadır.
Tahtadaki formüller
- M%70
- T%40
- %20
- %50 = 80
- %10 = x
- x = 16
Önemli: Yüzde problemlerinde kümelerin tamamı %100'ü temsil eder. Yalnız bir dersi seçenlerin yüzdesi ve sayısı verilerek, her iki dersi seçmeyenlerin sayısı orantı yoluyla bulunur.
38:55Yüzde Problemi - Matematik ve Biyoloji
- Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı Matematikten, %30'u Biyolojiden başarılıdır.
- Yalnız Biyolojiden başarılı olan 5 öğrenci vardır.
- Yalnız Matematikten başarılı olan 12 öğrenci olduğuna göre, hem Matematik hem de Biyolojiden başarılı olan öğrenci sayısı sorulmaktadır.
Tahtadaki formüller
- M%60
- B%30
- Yalnız Biyoloji = 5
- Yalnız Matematik = 12
- x+12 / x+5 = %60 / %30
- 2x+10 = x+12
- x = 2
Önemli: Yüzdelerle verilen problemlerde, kişi sayıları arasında orantı kurularak bilinmeyenler bulunabilir.
39:50Yüzde Problemi - İngilizce ve Almanca
- 26 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı, yalnız Almanca bilenlerin sayısının iki katıdır.
- Yalnız Almanca bilenlerin sayısı, Almanca ve İngilizce bilenlerin iki katıdır.
- Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı, bu dilleri bilmeyenlerin sayısının iki katı olduğuna göre, İngilizce bilen kaç öğrenci vardır?
Tahtadaki formüller
- İ = 8x
- A = 6x
- Yalnız İngilizce = 6x
- Her ikisi = 2x
- Yalnız Almanca = 4x
- Dışarıdakiler = x
- Toplam = 13x = 26
- x = 2
- İngilizce bilenler = 8x = 16
Önemli: Kümeler problemlerinde, verilen oranları x cinsinden ifade ederek bir denklem sistemi oluşturmak ve toplam kişi sayısıyla çözüme ulaşmak önemlidir. Özellikle 'yalnız' ve 'her ikisi' ifadelerine dikkat edilmelidir.