Matematik · KPSS

Ardışık Sayılar Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Yargı Pluskaynak 41 dk18 bölüm

Kanıtlı Özetdakika damgalı
Kaynağı aç Havuzda

Bu özetle Meşk yap. Hoca yalnız bu özetin içinden soruyor, sen konuşarak cevaplıyorsun. Örnek dersi dinle

Üye ol, meşke başla

Bu özetten ne eksik?

Üretecek hakkın yoksa iste — hakkı olan biri üretince herkese açılır ve sana haber gelir.

Zaman damgalarına tıklayınca video o andan devam eder. Video oynarken de üstteki şerit hangi bölümde olduğunu yazar — tıklayınca özetin o yerine iner.

00:05Ardışık Sayılar Tanımı

  • Ardışık sayılar, art arda gelen ve aralarındaki fark 1 olan sayılardır.
  • Örnek: 1, 2, 3, 4, 5 gibi.
  • A ve B ardışık sayılar ise, A-B = 1 veya B-A = 1'dir.
  • Ardışık tek sayılar aralarındaki fark 2 olan sayılardır (örnek: 1, 3, 5, 7).
  • Ardışık tek sayılar n, n+2, n+4 veya 2n+1, 2n+3, 2n+5 şeklinde formülize edilebilir.
  • Ardışık çift sayılar aralarındaki fark 2 olan sayılardır (örnek: 0, 2, 4, 6).
  • Ardışık çift sayılar n, n+2, n+4 veya 2n, 2n+2, 2n+4 şeklinde formülize edilebilir.

Tahtadaki formüller

  • a=b+1a = b+1
  • b=a+1b = a+1
  • a-b =1= 1
  • n, n+2, n+4
  • 2n+1, 2n+3, 2n+5
  • n, n+2, n+4
  • 2n, 2n+2, 2n+4

Önemli: Ardışık iki sayı arasındaki fark 1, ardışık tek veya çift sayılar arasındaki fark 2'dir.

04:44Ardışık Çift Sayılarla İşlem

  • A, B, C ardışık çift sayılar ve A < B < C ise, bu tür oranlama sorularında değer verilebilir.
  • Değer olarak 0, 2, 4 seçilebilir.

Tahtadaki formüller

  • (a−c)2+(c−b)3/(c−a)(a-c)^2 + (c-b)^3 / (c-a)
  • (0−4)2+(4−2)3/(4−0)(0-4)^2 + (4-2)^3 / (4-0)
  • (−4)2+23/4(-4)^2 + 2^3 / 4
  • 16 + 8 / 4
  • 24/4=624 / 4 = 6

Önemli: Oranlama sorularında değer vermek işlemi kolaylaştırır.

06:55Ardışık Sayılarla Denklemler

  • 2n+1 ve n-3 ifadeleri ardışık sayılar ise, farkları 1 veya -1'e eşitlenir.
  • Hangi sayının daha büyük olduğu bilinmediği için iki durum da göz önünde bulundurulmalıdır.
  • İşlemi tek seferde yapıp sonucu hem 1'e hem de -1'e eşitlemek zaman kazandırır.

Tahtadaki formüller

  • (2n+1)−(n−3)=1(2n+1) - (n-3) = 1
  • (2n+1)−(n−3)=−1(2n+1) - (n-3) = -1
  • 2n+1−n+3=12n+1-n+3 = 1
  • n+4=1n+4 = 1
  • n=1−4=−3n = 1-4 = -3
  • n+4=−1n+4 = -1
  • n=−1−4=−5n = -1-4 = -5

Önemli: Ardışık sayılarla ilgili denklemlerde, farkı hem 1'e hem de -1'e eşitleyerek tüm olası n değerlerini bulun.

12:00Ardışık Sayılarla İlgili Denklem Çözümü

  • Ardışık sayılar arasındaki fark 1'dir.
  • Denklemde N değeri -6 olarak bulunur.
  • X, Y, Z değerleri N'ye göre sırasıyla -6, -5, -4 olarak hesaplanır.
  • X, Y, Z'nin toplamı -15'tir.

Tahtadaki formüller

  • 2N=6(N+2)(N−1)2N = 6 (N+2) (N-1)
  • 2N=6.2.(−1)2N = 6 . 2 . (-1)
  • N =−6= -6
  • X = N =−6= -6
  • Y =N+1=−5= N+1 = -5
  • Z =N+2=−4= N+2 = -4
  • Toplam =−15= -15

Önemli: Ardışık sayılar dendiğinde aradaki farkın 1 olduğu unutulmamalıdır.

13:08Ardışık Sayılarla Kesirli Denklem Çözümü

  • A, B, C ardışık sayılar ve A < B < C koşulu verilmiştir.
  • A=N, B=N+1, C=N+2 olarak ifade edilir.
  • Verilen kesirli denklem düzenlenir: (A-1)/A * (B-1)/B * (C-1)/C = 4/5.
  • N cinsinden yazıldığında (N-1)/N * N/(N+1) * (N+1)/(N+2) = 4/5 denklemi elde edilir.
  • Sadeleştirmeler sonucunda (N-1)/(N+2) = 4/5 bulunur.
  • İçler dışlar çarpımı ile 5N - 5 = 4N + 8 denklemi çözülür.
  • N = 13 olarak bulunur.
  • A=13, B=14, C=15 olarak hesaplanır.
  • A+B+C toplamı 42'dir.

Tahtadaki formüller

  • (1−1/A).(1−1/B).(1−1/C)=4/5(1 - 1/A) . (1 - 1/B) . (1 - 1/C) = 4/5
  • (A−1)/A.(B−1)/B.(C−1)/C=4/5(A-1)/A . (B-1)/B . (C-1)/C = 4/5
  • A=N,B=N+1,C=N+2A=N, B=N+1, C=N+2
  • (N−1)/N.N/(N+1).(N+1)/(N+2)=4/5(N-1)/N . N/(N+1) . (N+1)/(N+2) = 4/5
  • (N−1)/(N+2)=4/5(N-1)/(N+2) = 4/5
  • 5(N−1)=4(N+2)5(N-1) = 4(N+2)
  • 5N−5=4N+85N - 5 = 4N + 8
  • N =13= 13
  • A =13,= 13, B =14,= 14, C =15= 15
  • Toplam =42= 42

Önemli: Ardışık sayılar problemlerinde bilinmeyenleri N, N+1, N+2 şeklinde ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

16:09Ardışık Sayıların Formülleri ve Genel Toplam Formülü

  • Ardışık sayıların toplam formülleri: 1'den N'ye kadar olan sayıların toplamı N(N+1)/2'dir.
  • Ardışık çift sayıların toplamı (2+4+...+2N) N(N+1)'dir.
  • Ardışık tek sayıların toplamı (1+3+...+2N-1) N2N^2'dir.
  • Bu formüllerin mantığı Gauss'un 1'den 100'e kadar olan sayıları toplama yönteminden gelir.
  • Gauss, sayıları alt alta ters çevirip topladığında her bir çiftin 101 ettiğini ve 100 çift olduğunu fark etmiştir.
  • Toplamı 100 * 101 / 2 olarak bulmuştur.
  • Genel toplam formülü: Ortadaki Sayı x Terim Sayısı'dır.
  • Ortadaki sayı, (Son Terim + İlk Terim) / 2 formülüyle bulunur.
  • Terim sayısı, (Son Terim - İlk Terim) / Ortak Fark + 1 formülüyle bulunur.

Tahtadaki formüller

  • 1 + 2 + 3 + ... + N =N(N+1)/2= N(N+1)/2
  • 2+4+6+...+2N=N(N+1)2 + 4 + 6 + ... + 2N = N(N+1)
  • 1+3+5+...+(2N−1)=N21 + 3 + 5 + ... + (2N-1) = N^2
  • Toplam = Ortadaki Sayı x Terim Sayısı
  • Ortadaki Sayı = (S.T + İ.T) / 2
  • Terim Sayısı = (S.T - İ.T) / Ortak Fark + 1

Önemli: Genel Toplam Formülü (Ortadaki Sayı x Terim Sayısı) tüm ardışık sayı dizileri için geçerlidir ve ezberlemek yerine mantığını anlamak önemlidir.

24:00Ardışık Sayıların Toplam Formülü

  • Terim sayısı: (Son Terim - İlk Terim) / Ortak Fark + 1
  • Ortadaki sayı: (İlk Terim + Son Terim) / 2
  • Toplam: Ortadaki Sayı x Terim Sayısı
  • Ardışık Toplam: [(İlk Terim + Son Terim) / 2] x Terim Sayısı

Tahtadaki formüller

  • Terim Sayısı: (S.Terim-İ.Terim)/Ortak Fark+1
  • Ortadaki Sayı: (İ.Terim+S.Terim)/2
  • Toplam: Ortadaki Sayı x Terim Sayısı
  • Ardışık Toplam: [(İ.Terim+S.Terim)/2]xT.S

Önemli: Ardışık sayıların toplamında bu formüller kritik öneme sahiptir.

24:441'den n'e Kadar Sayıların Toplamı

  • 1'den 29'a kadar olan sayıların toplamı, n*(n+1)/2 formülü ile bulunur.
  • n=29 için, 29*30/2 = 29*15 = 435 sonucunu verir.

Tahtadaki formüller

  • n.(n+1)/2
  • 29.30/2=29.15=43529.30/2 = 29.15 = 435

Önemli: 1'den başlayan ardışık sayıların toplamı formülü sıkça kullanılır.

25:35Ardışık Doğal Sayıların En Küçüğünü Bulma

  • Ardışık 5 doğal sayının toplamı 75 ise, en küçüğünü bulmak için iki yöntem kullanılabilir.
  • Birinci yöntem: Sayıları n, n+1, n+2, n+3, n+4 olarak ifade edip toplamak ve 75'e eşitlemek. 5n + 10 = 75, 5n = 65, n = 13. En küçük sayı 13'tür.
  • İkinci yöntem (özel yol): Toplamı terim sayısına bölerek ortadaki sayıyı bulmak. 75 / 5 = 15. Ortadaki sayı 15'tir. Ardışık 5 sayı olduğu için 15'in solunda 2, sağında 2 sayı vardır. En küçük sayı 15 - 2 = 13'tür.

Tahtadaki formüller

  • n, n+1, n+2, n+3, n+4
  • 5n+10=755n+10=75
  • 5n=655n=65
  • n=13n=13
  • Toplam / Terim Sayısı = Orta
  • 75/5=1575/5 = 15
  • 13, 14, 15, 16, 17

Önemli: Ortadaki sayıyı bulma yöntemi, ardışık sayı problemlerinde hızlı çözüm sağlar.

28:16Ardışık Tek Doğal Sayıların En Büyüğünü Bulma

  • Ardışık 11 tek doğal sayının toplamı 143 ise, en büyüğünü bulmak için öncelikle ortadaki sayı bulunur.
  • Ortadaki sayı: Toplam / Terim Sayısı = 143 / 11 = 13.
  • 11 sayının ortası (11+1)/2 = 6. sıradaki sayıdır. Yani 6. sayı 13'tür.
  • En büyük sayıyı bulmak için 13'ten sonraki tek sayılar ardışık olarak yazılır: 15, 17, 19, 21, 23. En büyük sayı 23'tür.

Tahtadaki formüller

  • Orta = Toplam / Terim Sayısı
  • Orta =143/11=13= 143/11 = 13
  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
  • 13, 15, 17, 19, 21, 23

Önemli: Tek sayılarda ileri veya geri giderken farkın 2 olduğunu unutmayın.

29:26Ardışık Tek Sayıların En Küçüğünü Bulma (Negatif)

  • Ardışık 43 tek sayının toplamı 43 ise, en küçüğünü bulmak için ortadaki sayı bulunur.
  • Ortadaki sayı: Toplam / Terim Sayısı = 43 / 43 = 1.
  • 43 sayının ortası (43+1)/2 = 22. sıradaki sayıdır. Yani 22. sayı 1'dir.
  • En küçük sayıyı bulmak için 1'den 21 sayı geri gitmek gerekir (22. sayıdan 1. sayıya kadar 21 adım).
  • Her adımda 2 azaldığı için 21 * 2 = 42 azalma olur.
  • En küçük sayı: 1 - 42 = -41'dir.

Tahtadaki formüller

  • Orta = Toplam / Terim Sayısı
  • Orta =43/43=1= 43/43 = 1
  • 22. sayı =1= 1
  • 1. sayı =1−(21x2)=1−42=−41= 1 - (21 x 2) = 1 - 42 = -41

Önemli: Ortadaki sayıdan geriye doğru giderken tek sayılarda her adımda 2 çıkarılır.

30:00Ardışık Çift Sayıların En Büyüğünü Bulma

  • Ardışık 6 çift sayının toplamı 66 ise, en büyüğünü bulmak için ortadaki sayı bulunur.
  • Ortadaki sayı: Toplam / Terim Sayısı = 66 / 6 = 11.
  • 6 sayının ortası (6+1)/2 = 3.5. Bu, 3. ve 4. sayıların ortasıdır. Yani 3. sayı ile 4. sayı arasındaki değer 11'dir.
  • Çift sayılar olduğu için 3. sayı 10, 4. sayı 12'dir.
  • En büyük sayıyı bulmak için 12'den sonraki çift sayılar ardışık olarak yazılır: 14, 16. En büyük sayı 16'dır.

Tahtadaki formüller

  • Orta = Toplam / Terim Sayısı
  • Orta =66/6=11= 66/6 = 11
  • 3.5
  • 6, 8, 10, 12, 14, 16

Önemli: Çift sayıda terim olduğunda ortadaki sayı iki terimin arasında yer alır.

Ardışık Doğal Sayıların En Küçüğünü Bulma (Harfli İfade)

  • Ardışık 5 doğal sayının toplamı A ise, en küçüğünü bulmak için ortadaki sayı bulunur.
  • Ortadaki sayı: Toplam / Sayı Adedi = A / 5.
  • 5 sayının ortası 3. sıradaki sayıdır. Yani 3. sayı A/5'tir.
  • En küçük sayıyı bulmak için A/5'ten 2 sayı geri gitmek gerekir (ardışık doğal sayılar olduğu için birer birer).
  • En küçük sayı: A/5 - 2 = (A - 10) / 5'tir.

Tahtadaki formüller

  • Orta = Toplam / Sayı Adedi
  • Orta =A/5= A/5
  • 1, 2, 3, 4, 5
  • A/5 - 2
  • (A-10)/5

Önemli: Harfli ifadelerde de aynı mantıkla işlem yapılır, payda eşitleme unutulmamalıdır.

Ardışık Doğal Sayı Toplamları Arasındaki İlişki

  • 1'den n'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı X olarak verilmiş.
  • 10'dan n'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı Y olarak verilmiş.
  • X + Y = 145 olduğuna göre X kaçtır?
  • 1'den n'e kadar olan toplamı (X) şu şekilde yazabiliriz: (1+2+...+9) + (10+11+...+n).
  • Burada (10+11+...+n) ifadesi Y'ye eşittir.
  • Yani X = (1+2+...+9) + Y.
  • 1'den 9'a kadar olan sayıların toplamı 9*(9+1)/2 = 9*10/2 = 45'tir.
  • O zaman X = 45 + Y.
  • Verilen X + Y = 145 denklemini kullanarak Y yerine X-45 yazarsak: X + (X-45) = 145.
  • 2X - 45 = 145, 2X = 190, X = 95'tir.

Tahtadaki formüller

  • 1+2+3+...+n=1+2+3+...+n = X
  • 10+11+...+n=10+11+...+n = Y
  • X+Y =145= 145
  • 1+2+...+9=451+2+...+9 = 45
  • X =45+= 45 + Y
  • X +(X−45)=145+ (X-45) = 145
  • 2X−45=1452X - 45 = 145
  • 2X=1902X = 190
  • X =95= 95

Önemli: Toplamları parçalayarak bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi kurmak, bu tür sorularda çözüm sağlar.

36:00Ardışık Sayılar Problemi Çözümü

  • x - y = 45 ve x + y = 145 denklemleri toplandığında y'ler birbirini götürür.
  • 2x = 190 bulunur.
  • x = 95 olarak hesaplanır.

Tahtadaki formüller

  • 1+2+3+...+n=x1+2+3+...+n = x
  • 10+11+...+n=y10+11+...+n = y
  • 1+2+...+9=1+2+...+9 = x-y
  • 9∗10/2=9*10/2 = x-y
  • 45=45 = x-y
  • x+y =145= 145
  • 2x=1902x = 190
  • x=95x = 95

37:103'ün Katı Ardışık Sayıların 100. Sayısı

  • Bir öğrenci 3'ün katı olan ardışık pozitif doğal sayıları defterine yazıyor: 3, 6, 9, 12...
  • Öğrencinin yazdığı 100. sayıyı bulmak için terim sayısı formülü kullanılır.
  • Terim sayısı (T.S) = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1
  • 100 = (x - 3) / 3 + 1 denklemi kurulur.
  • Denklem çözüldüğünde x = 300 bulunur.

Tahtadaki formüller

  • T.S = (S.T - İ.T) / A.M + 1
  • 100=(x−3)/3+1100 = (x - 3) / 3 + 1
  • 100=x/3100 = x / 3
  • x=300x = 300

Önemli: Ardışık sayı problemlerinde terim sayısı formülünü ve genel kural bulma yöntemini iyi bilmek önemlidir.

39:09Ardışık Sayıların Genel Kuralını Bulma

  • Bir sayı dizisinin genel kuralını bulmak için artış miktarı (fark) kullanılır.
  • Örnek: 3, 6, 9, 12... dizisinde artış miktarı 3'tür, bu yüzden kural 3n olarak başlar.
  • n yerine 1 yazıldığında ilk terim olan 3 elde edildiği için kural 3n'dir.
  • 100. sayıyı bulmak için n yerine 100 yazılarak 3 * 100 = 300 bulunur.

Tahtadaki formüller

  • kural =3n= 3n
  • n=100n = 100 ise 3∗100=3003 * 100 = 300

Önemli: Genel kural bulma yöntemi, herhangi bir terimi hızlıca hesaplamak için pratik bir yoldur.

40:07Farklı Bir Ardışık Sayı Dizisinin Kuralı

  • Örnek: 7, 11, 15... dizisinin kuralını bulmak için artış miktarına bakılır.
  • Artış miktarı 4'tür, bu yüzden kural 4n olarak başlar.
  • n yerine 1 yazıldığında ilk terim olan 7'yi elde etmek için 4n'e 3 eklenir (4*1 + 3 = 7).
  • Kural 4n + 3'tür.
  • 20. sayıyı bulmak için n yerine 20 yazılır: 4*20 + 3 = 83.
  • 100. sayıyı bulmak için n yerine 100 yazılır: 4*100 + 3 = 403.

Tahtadaki formüller

  • kural =4n+3= 4n + 3
  • n=20n = 20 ise 4∗20+3=834*20 + 3 = 83
  • n=100n = 100 ise 4∗100+3=4034*100 + 3 = 403

Önemli: Bu yöntem, aritmetik dizilerde herhangi bir terimi bulmak için oldukça etkilidir.

Matematik dersindeki diğer konu özetleri

Matematik özetlerinin tümü →

Kendi ders videondan böyle bir özet çıkar

Bağlantıyı yapıştır; zaman damgalı konu özetini, akıl kartlarını ve o konudan soru bankasını çıkaralım.

Akıllı Özetleyici'yi aç →