00:05Ardışık Sayılar Tanımı
- Ardışık sayılar, art arda gelen ve aralarındaki fark 1 olan sayılardır.
- Örnek: 1, 2, 3, 4, 5 gibi.
- A ve B ardışık sayılar ise, A-B = 1 veya B-A = 1'dir.
- Ardışık tek sayılar aralarındaki fark 2 olan sayılardır (örnek: 1, 3, 5, 7).
- Ardışık tek sayılar n, n+2, n+4 veya 2n+1, 2n+3, 2n+5 şeklinde formülize edilebilir.
- Ardışık çift sayılar aralarındaki fark 2 olan sayılardır (örnek: 0, 2, 4, 6).
- Ardışık çift sayılar n, n+2, n+4 veya 2n, 2n+2, 2n+4 şeklinde formülize edilebilir.
Tahtadaki formüller
- a = b+1
- b = a+1
- a-b = 1
- n, n+2, n+4
- 2n+1, 2n+3, 2n+5
- n, n+2, n+4
- 2n, 2n+2, 2n+4
Önemli: Ardışık iki sayı arasındaki fark 1, ardışık tek veya çift sayılar arasındaki fark 2'dir.
04:44Ardışık Çift Sayılarla İşlem
- A, B, C ardışık çift sayılar ve A < B < C ise, bu tür oranlama sorularında değer verilebilir.
- Değer olarak 0, 2, 4 seçilebilir.
Tahtadaki formüller
- (a-c)^2 + (c-b)^3 / (c-a)
- (0-4)^2 + (4-2)^3 / (4-0)
- (-4)^2 + 2^3 / 4
- 16 + 8 / 4
- 24 / 4 = 6
Önemli: Oranlama sorularında değer vermek işlemi kolaylaştırır.
06:55Ardışık Sayılarla Denklemler
- 2n+1 ve n-3 ifadeleri ardışık sayılar ise, farkları 1 veya -1'e eşitlenir.
- Hangi sayının daha büyük olduğu bilinmediği için iki durum da göz önünde bulundurulmalıdır.
- İşlemi tek seferde yapıp sonucu hem 1'e hem de -1'e eşitlemek zaman kazandırır.
Tahtadaki formüller
- (2n+1) - (n-3) = 1
- (2n+1) - (n-3) = -1
- 2n+1-n+3 = 1
- n+4 = 1
- n = 1-4 = -3
- n+4 = -1
- n = -1-4 = -5
Önemli: Ardışık sayılarla ilgili denklemlerde, farkı hem 1'e hem de -1'e eşitleyerek tüm olası n değerlerini bulun.
12:00Ardışık Sayılarla İlgili Denklem Çözümü
- Ardışık sayılar arasındaki fark 1'dir.
- Denklemde N değeri -6 olarak bulunur.
- X, Y, Z değerleri N'ye göre sırasıyla -6, -5, -4 olarak hesaplanır.
- X, Y, Z'nin toplamı -15'tir.
Tahtadaki formüller
- 2N = 6 (N+2) (N-1)
- 2N = 6 . 2 . (-1)
- N = -6
- X = N = -6
- Y = N+1 = -5
- Z = N+2 = -4
- Toplam = -15
Önemli: Ardışık sayılar dendiğinde aradaki farkın 1 olduğu unutulmamalıdır.
13:08Ardışık Sayılarla Kesirli Denklem Çözümü
- A, B, C ardışık sayılar ve A < B < C koşulu verilmiştir.
- A=N, B=N+1, C=N+2 olarak ifade edilir.
- Verilen kesirli denklem düzenlenir: (A-1)/A * (B-1)/B * (C-1)/C = 4/5.
- N cinsinden yazıldığında (N-1)/N * N/(N+1) * (N+1)/(N+2) = 4/5 denklemi elde edilir.
- Sadeleştirmeler sonucunda (N-1)/(N+2) = 4/5 bulunur.
- İçler dışlar çarpımı ile 5N - 5 = 4N + 8 denklemi çözülür.
- N = 13 olarak bulunur.
- A=13, B=14, C=15 olarak hesaplanır.
- A+B+C toplamı 42'dir.
Tahtadaki formüller
- (1 - 1/A) . (1 - 1/B) . (1 - 1/C) = 4/5
- (A-1)/A . (B-1)/B . (C-1)/C = 4/5
- A=N, B=N+1, C=N+2
- (N-1)/N . N/(N+1) . (N+1)/(N+2) = 4/5
- (N-1)/(N+2) = 4/5
- 5(N-1) = 4(N+2)
- 5N - 5 = 4N + 8
- N = 13
- A = 13, B = 14, C = 15
- Toplam = 42
Önemli: Ardışık sayılar problemlerinde bilinmeyenleri N, N+1, N+2 şeklinde ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
16:09Ardışık Sayıların Formülleri ve Genel Toplam Formülü
- Ardışık sayıların toplam formülleri: 1'den N'ye kadar olan sayıların toplamı N(N+1)/2'dir.
- Ardışık çift sayıların toplamı (2+4+...+2N) N(N+1)'dir.
- Ardışık tek sayıların toplamı (1+3+...+2N-1) N^2'dir.
- Bu formüllerin mantığı Gauss'un 1'den 100'e kadar olan sayıları toplama yönteminden gelir.
- Gauss, sayıları alt alta ters çevirip topladığında her bir çiftin 101 ettiğini ve 100 çift olduğunu fark etmiştir.
- Toplamı 100 * 101 / 2 olarak bulmuştur.
- Genel toplam formülü: Ortadaki Sayı x Terim Sayısı'dır.
- Ortadaki sayı, (Son Terim + İlk Terim) / 2 formülüyle bulunur.
- Terim sayısı, (Son Terim - İlk Terim) / Ortak Fark + 1 formülüyle bulunur.
Tahtadaki formüller
- 1 + 2 + 3 + ... + N = N(N+1)/2
- 2 + 4 + 6 + ... + 2N = N(N+1)
- 1 + 3 + 5 + ... + (2N-1) = N^2
- Toplam = Ortadaki Sayı x Terim Sayısı
- Ortadaki Sayı = (S.T + İ.T) / 2
- Terim Sayısı = (S.T - İ.T) / Ortak Fark + 1
Önemli: Genel Toplam Formülü (Ortadaki Sayı x Terim Sayısı) tüm ardışık sayı dizileri için geçerlidir ve ezberlemek yerine mantığını anlamak önemlidir.
24:00Ardışık Sayıların Toplam Formülü
- Terim sayısı: (Son Terim - İlk Terim) / Ortak Fark + 1
- Ortadaki sayı: (İlk Terim + Son Terim) / 2
- Toplam: Ortadaki Sayı x Terim Sayısı
- Ardışık Toplam: [(İlk Terim + Son Terim) / 2] x Terim Sayısı
Tahtadaki formüller
- Terim Sayısı: (S.Terim-İ.Terim)/Ortak Fark+1
- Ortadaki Sayı: (İ.Terim+S.Terim)/2
- Toplam: Ortadaki Sayı x Terim Sayısı
- Ardışık Toplam: [(İ.Terim+S.Terim)/2]xT.S
Önemli: Ardışık sayıların toplamında bu formüller kritik öneme sahiptir.
24:441'den n'e Kadar Sayıların Toplamı
- 1'den 29'a kadar olan sayıların toplamı, n*(n+1)/2 formülü ile bulunur.
- n=29 için, 29*30/2 = 29*15 = 435 sonucunu verir.
Tahtadaki formüller
- n.(n+1)/2
- 29.30/2 = 29.15 = 435
Önemli: 1'den başlayan ardışık sayıların toplamı formülü sıkça kullanılır.
25:35Ardışık Doğal Sayıların En Küçüğünü Bulma
- Ardışık 5 doğal sayının toplamı 75 ise, en küçüğünü bulmak için iki yöntem kullanılabilir.
- Birinci yöntem: Sayıları n, n+1, n+2, n+3, n+4 olarak ifade edip toplamak ve 75'e eşitlemek. 5n + 10 = 75, 5n = 65, n = 13. En küçük sayı 13'tür.
- İkinci yöntem (özel yol): Toplamı terim sayısına bölerek ortadaki sayıyı bulmak. 75 / 5 = 15. Ortadaki sayı 15'tir. Ardışık 5 sayı olduğu için 15'in solunda 2, sağında 2 sayı vardır. En küçük sayı 15 - 2 = 13'tür.
Tahtadaki formüller
- n, n+1, n+2, n+3, n+4
- 5n+10=75
- 5n=65
- n=13
- Toplam / Terim Sayısı = Orta
- 75/5 = 15
- 13, 14, 15, 16, 17
Önemli: Ortadaki sayıyı bulma yöntemi, ardışık sayı problemlerinde hızlı çözüm sağlar.
28:16Ardışık Tek Doğal Sayıların En Büyüğünü Bulma
- Ardışık 11 tek doğal sayının toplamı 143 ise, en büyüğünü bulmak için öncelikle ortadaki sayı bulunur.
- Ortadaki sayı: Toplam / Terim Sayısı = 143 / 11 = 13.
- 11 sayının ortası (11+1)/2 = 6. sıradaki sayıdır. Yani 6. sayı 13'tür.
- En büyük sayıyı bulmak için 13'ten sonraki tek sayılar ardışık olarak yazılır: 15, 17, 19, 21, 23. En büyük sayı 23'tür.
Tahtadaki formüller
- Orta = Toplam / Terim Sayısı
- Orta = 143/11 = 13
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
- 13, 15, 17, 19, 21, 23
Önemli: Tek sayılarda ileri veya geri giderken farkın 2 olduğunu unutmayın.
29:26Ardışık Tek Sayıların En Küçüğünü Bulma (Negatif)
- Ardışık 43 tek sayının toplamı 43 ise, en küçüğünü bulmak için ortadaki sayı bulunur.
- Ortadaki sayı: Toplam / Terim Sayısı = 43 / 43 = 1.
- 43 sayının ortası (43+1)/2 = 22. sıradaki sayıdır. Yani 22. sayı 1'dir.
- En küçük sayıyı bulmak için 1'den 21 sayı geri gitmek gerekir (22. sayıdan 1. sayıya kadar 21 adım).
- Her adımda 2 azaldığı için 21 * 2 = 42 azalma olur.
- En küçük sayı: 1 - 42 = -41'dir.
Tahtadaki formüller
- Orta = Toplam / Terim Sayısı
- Orta = 43/43 = 1
- 22. sayı = 1
- 1. sayı = 1 - (21 x 2) = 1 - 42 = -41
Önemli: Ortadaki sayıdan geriye doğru giderken tek sayılarda her adımda 2 çıkarılır.
30:00Ardışık Çift Sayıların En Büyüğünü Bulma
- Ardışık 6 çift sayının toplamı 66 ise, en büyüğünü bulmak için ortadaki sayı bulunur.
- Ortadaki sayı: Toplam / Terim Sayısı = 66 / 6 = 11.
- 6 sayının ortası (6+1)/2 = 3.5. Bu, 3. ve 4. sayıların ortasıdır. Yani 3. sayı ile 4. sayı arasındaki değer 11'dir.
- Çift sayılar olduğu için 3. sayı 10, 4. sayı 12'dir.
- En büyük sayıyı bulmak için 12'den sonraki çift sayılar ardışık olarak yazılır: 14, 16. En büyük sayı 16'dır.
Tahtadaki formüller
- Orta = Toplam / Terim Sayısı
- Orta = 66/6 = 11
- 3.5
- 6, 8, 10, 12, 14, 16
Önemli: Çift sayıda terim olduğunda ortadaki sayı iki terimin arasında yer alır.
30:00Ardışık Doğal Sayıların En Küçüğünü Bulma (Harfli İfade)
- Ardışık 5 doğal sayının toplamı A ise, en küçüğünü bulmak için ortadaki sayı bulunur.
- Ortadaki sayı: Toplam / Sayı Adedi = A / 5.
- 5 sayının ortası 3. sıradaki sayıdır. Yani 3. sayı A/5'tir.
- En küçük sayıyı bulmak için A/5'ten 2 sayı geri gitmek gerekir (ardışık doğal sayılar olduğu için birer birer).
- En küçük sayı: A/5 - 2 = (A - 10) / 5'tir.
Tahtadaki formüller
- Orta = Toplam / Sayı Adedi
- Orta = A/5
- 1, 2, 3, 4, 5
- A/5 - 2
- (A-10)/5
Önemli: Harfli ifadelerde de aynı mantıkla işlem yapılır, payda eşitleme unutulmamalıdır.
30:00Ardışık Doğal Sayı Toplamları Arasındaki İlişki
- 1'den n'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı X olarak verilmiş.
- 10'dan n'e kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı Y olarak verilmiş.
- X + Y = 145 olduğuna göre X kaçtır?
- 1'den n'e kadar olan toplamı (X) şu şekilde yazabiliriz: (1+2+...+9) + (10+11+...+n).
- Burada (10+11+...+n) ifadesi Y'ye eşittir.
- Yani X = (1+2+...+9) + Y.
- 1'den 9'a kadar olan sayıların toplamı 9*(9+1)/2 = 9*10/2 = 45'tir.
- O zaman X = 45 + Y.
- Verilen X + Y = 145 denklemini kullanarak Y yerine X-45 yazarsak: X + (X-45) = 145.
- 2X - 45 = 145, 2X = 190, X = 95'tir.
Tahtadaki formüller
- 1+2+3+...+n = X
- 10+11+...+n = Y
- X+Y = 145
- 1+2+...+9 = 45
- X = 45 + Y
- X + (X-45) = 145
- 2X - 45 = 145
- 2X = 190
- X = 95
Önemli: Toplamları parçalayarak bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi kurmak, bu tür sorularda çözüm sağlar.
36:00Ardışık Sayılar Problemi Çözümü
- x - y = 45 ve x + y = 145 denklemleri toplandığında y'ler birbirini götürür.
- 2x = 190 bulunur.
- x = 95 olarak hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- 1+2+3+...+n = x
- 10+11+...+n = y
- 1+2+...+9 = x-y
- 9*10/2 = x-y
- 45 = x-y
- x+y = 145
- 2x = 190
- x = 95
37:103'ün Katı Ardışık Sayıların 100. Sayısı
- Bir öğrenci 3'ün katı olan ardışık pozitif doğal sayıları defterine yazıyor: 3, 6, 9, 12...
- Öğrencinin yazdığı 100. sayıyı bulmak için terim sayısı formülü kullanılır.
- Terim sayısı (T.S) = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1
- 100 = (x - 3) / 3 + 1 denklemi kurulur.
- Denklem çözüldüğünde x = 300 bulunur.
Tahtadaki formüller
- T.S = (S.T - İ.T) / A.M + 1
- 100 = (x - 3) / 3 + 1
- 100 = x / 3
- x = 300
Önemli: Ardışık sayı problemlerinde terim sayısı formülünü ve genel kural bulma yöntemini iyi bilmek önemlidir.
39:09Ardışık Sayıların Genel Kuralını Bulma
- Bir sayı dizisinin genel kuralını bulmak için artış miktarı (fark) kullanılır.
- Örnek: 3, 6, 9, 12... dizisinde artış miktarı 3'tür, bu yüzden kural 3n olarak başlar.
- n yerine 1 yazıldığında ilk terim olan 3 elde edildiği için kural 3n'dir.
- 100. sayıyı bulmak için n yerine 100 yazılarak 3 * 100 = 300 bulunur.
Tahtadaki formüller
- kural = 3n
- n = 100 ise 3 * 100 = 300
Önemli: Genel kural bulma yöntemi, herhangi bir terimi hızlıca hesaplamak için pratik bir yoldur.
40:07Farklı Bir Ardışık Sayı Dizisinin Kuralı
- Örnek: 7, 11, 15... dizisinin kuralını bulmak için artış miktarına bakılır.
- Artış miktarı 4'tür, bu yüzden kural 4n olarak başlar.
- n yerine 1 yazıldığında ilk terim olan 7'yi elde etmek için 4n'e 3 eklenir (4*1 + 3 = 7).
- Kural 4n + 3'tür.
- 20. sayıyı bulmak için n yerine 20 yazılır: 4*20 + 3 = 83.
- 100. sayıyı bulmak için n yerine 100 yazılır: 4*100 + 3 = 403.
Tahtadaki formüller
- kural = 4n + 3
- n = 20 ise 4*20 + 3 = 83
- n = 100 ise 4*100 + 3 = 403
Önemli: Bu yöntem, aritmetik dizilerde herhangi bir terimi bulmak için oldukça etkilidir.