Matematik · KPSS

Bölünebilme Kuralları - İlyas Güneş

Yargı Pluskaynak 37 dk12 bölüm15 soru

Kanıtlı Özetdakika damgalı
Kaynağı aç Havuzda

Bu özetle Meşk yap. Hoca yalnız bu özetin içinden soruyor, sen konuşarak cevaplıyorsun. Örnek dersi dinle

Üye ol, meşke başla

Bu özetten ne eksik?

Üretecek hakkın yoksa iste — hakkı olan biri üretince herkese açılır ve sana haber gelir.

Zaman damgalarına tıklayınca video o andan devam eder. Video oynarken de üstteki şerit hangi bölümde olduğunu yazar — tıklayınca özetin o yerine iner.

00:055 ve 11 ile Bölünebilme

  • Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, birler basamağı 2 veya 7 olmalıdır.
  • Dört basamaklı X23Y sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, Y = 2 veya Y = 7 olur.
  • Bir sayının 11 ile tam bölünebilmesi için en sağdan başlayarak rakamlara sırasıyla + - + - işaretleri verilir ve toplamları 0 veya 11'in katı olmalıdır.
  • X'in alabileceği en büyük değer 6'dır.

Tahtadaki formüller

  • X232−>+−+−=>2−3+2−X232 -> + - + - => 2 - 3 + 2 - X =1−= 1 - X =0=>= 0 => X =1= 1
  • X237−>+−+−=>7−3+2−X237 -> + - + - => 7 - 3 + 2 - X =6−= 6 - X =0=>= 0 => X =6= 6

Önemli: 11 ile bölünebilme kuralı ve 5 ile bölünebilme kuralının birlikte kullanıldığı sorular önemlidir.

02:1645 ile Bölünebilme ve Faktöriyel Sayılar

  • Bir pazarcı 45 liradan çift sayıda gömlek alıyorsa, ödediği toplam para 45 ile tam bölünmelidir.
  • Bir sayı 45 ile tam bölünüyorsa, hem 9 hem de 5 ile tam bölünmelidir.
  • Çift sayıda gömlek alındığı için son rakam 0 olmalıdır (Y=0).
  • Rakamları toplamı 9'un katı olmalı (X+1+7+0 = X+8 = 9k).
  • X = 1 bulunur.
  • Silik çıkan iki rakamın farkı 1-0 = 1'dir.
  • Faktöriyel sayı, birden fazla ardışık pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilen doğal sayıdır.
  • 5 ile tam bölünen iki basamaklı faktöriyel sayılar: 5x6=30, 4x5=20, 3x4x5=60, 9x10=90.

Tahtadaki formüller

  • X17Y−>X17Y -> Y =0= 0
  • X170−>X170 -> X +1+7+0=+ 1 + 7 + 0 = X + 8
  • X +8=9=>+ 8 = 9 => X =1= 1
  • 1−0=11 - 0 = 1
  • 5x6=305 x 6 = 30
  • 4x5=204 x 5 = 20
  • 3x4x5=603 x 4 x 5 = 60
  • 9x10=909 x 10 = 90

Önemli: 45 ile bölünebilme için 9 ve 5 ile bölünebilme kurallarının birlikte kullanılması ve faktöriyel sayı tanımını anlamak önemlidir.

07:545 ve 12 ile Bölünebilme Kuralları

  • Üç basamaklı ABA doğal sayısı 5 ile tam bölünüyorsa, A = 5 olmalıdır (çünkü A ilk basamak olduğu için 0 olamaz).
  • BAB doğal sayısı 12 ile tam bölünüyorsa, hem 4 hem de 3 ile tam bölünmelidir.
  • B5B sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağı 4'ün katı olmalıdır. Bu durumda B = 2 (52) veya B = 6 (56) olabilir.
  • B5B sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  • Eğer B=2 ise, 252 sayısının rakamları toplamı 2+5+2=9 olup 3 ile tam bölünür.
  • Eğer B=6 ise, 656 sayısının rakamları toplamı 6+5+6=17 olup 3 ile tam bölünmez.
  • Bu durumda A=5 ve B=2'dir.
  • A+B toplamı 5+2=7'dir.

Tahtadaki formüller

  • ABA −>5-> 5 ile bölünür => A =5= 5
  • B5B−>12B5B -> 12 ile bölünür =>4=> 4 ve 3 ile bölünür
  • B5B−>4B5B -> 4 ile bölünür => B =2(52)= 2 (52) veya B =6(56)= 6 (56)
  • 252−>2+5+2=9(3252 -> 2 + 5 + 2 = 9 (3 ile bölünür)
  • 656−>6+5+6=17(3656 -> 6 + 5 + 6 = 17 (3 ile bölünmez)
  • A + B =5+2=7= 5 + 2 = 7

Önemli: Bir sayının birden fazla sayıya tam bölünmesi istendiğinde, o sayıların aralarında asal çarpanlarına ayırıp her bir çarpanın bölünebilme kuralını uygulamak önemlidir.

12:00ABC Sayılarının Bölünebilme Özellikleri

  • A, B, C sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar olmalı.
  • Üç basamaklı ABC, ACB, BAC, BCA sayıları verilmiş.
  • Bu sayılardan ikisi 4'e, diğer ikisi 5'e tam bölünmekte.
  • Bir sayının 5'e bölünebilmesi için son basamağının 0 veya 5 olması gerekir. Rakamlar sıfırdan farklı olduğu için son basamak 5 olmalı.
  • Verilen sayılardan son basamağı C olan ABC ve BCA sayıları 5'e tam bölünür, dolayısıyla C=5.
  • Geriye kalan ACB ve BAC sayılarının son basamakları B ve A, 4'e tam bölünmeli.
  • 5 ile biten bir sayının 4'e tam bölünmesi için son iki basamağının 52 veya 56 olması gerekir.
  • Bu durumda B=2 veya B=6 olur. Eğer B=2 ise A=6, eğer B=6 ise A=2 olur (rakamlar farklı olmalı).
  • A, B, C toplamı 6+2+5=13'tür.

Önemli: 5'e bölünebilme kuralı son basamağa bakıldığı için önceliklidir.

14:46Asal Sayılar ve Tam Bölünebilme

  • P ve R birbirinden farklı asal sayılar olarak verilmiş.
  • 300R sayısı P sayısının bir tam katıdır, yani 300R = P * X şeklinde ifade edilebilir.
  • 300 sayısının asal çarpanlarına ayrılması gerekir: 300 = 3 * 100 = 3 * 2 * 5 * 5.
  • Bu durumda 300R = 2 * 3 * 5 * 5 * R = P * X olur.
  • P asal sayısı olduğu için 2, 3 veya 5 olabilir.
  • Soruda P'nin kesinlikle tam böldüğü şıkkı bulmak için, P'nin alabileceği tüm değerlerin (2, 3, 5) ortak böleni olan bir şık aranır.
  • 12R, 18R, 20R, 30R, 45R şıkları incelenir.
  • 30R sayısı 2, 3 ve 5'e tam bölünür. (2'ye bölünür, 3'e bölünür, 5'e bölünür).
  • Diğer şıklar P'nin tüm olası değerleri için bölünmez (örneğin, 45R sayısı P=2 olduğunda bölünmez).

Tahtadaki formüller

  • 300R=300R = P x X
  • 300=3x100300 = 3 x 100
  • 300=3x2x5x5300 = 3 x 2 x 5 x 5
  • P =2,3,5= 2,3,5

Önemli: Bir sayının asal çarpanlarını bulmak, o sayıyı tam bölen asal sayıları belirler.

17:10Basamak Değeri ve Rakamları Toplamı

  • X bir doğal sayı olmak üzere, (10X10^X - 22) / 3 doğal sayısının rakamları toplamı 38'dir.
  • 10X10^X ifadesi, 1'in yanında X tane sıfır olan bir sayıyı temsil eder (örneğin, 10310^3 = 1000).
  • 10X10^X - 22 işlemi yapıldığında, sonuçta son iki basamak 78, diğer basamaklar 9 olur (örneğin, 1000 - 22 = 978; 10000 - 22 = 9978).
  • Bu sayının 3'e bölünmesi gerekir. Sonuçta oluşan sayının rakamları toplamı 38 olmalı.
  • Eğer 10X10^X - 22 = 9...978 ise, bu sayı 3'e bölündüğünde 3...326 şeklinde bir sayı oluşur.
  • Bu sayının rakamları toplamının 38 olması için, 2+6=8 ve 38-8=30 kalır.
  • 30 sayısı, 10 tane 3'ün toplamıdır. Yani, 3...326 sayısında 10 tane 3 rakamı olmalı.
  • Bu durumda oluşan sayı 10 tane 3 ve 2, 6 rakamlarından oluşur, yani toplam 12 basamaklıdır.
  • 10X10^X - 22 sayısı 13 basamaklı bir sayı olmalı ki, 3'e bölündüğünde 12 basamaklı bir sayı elde edilsin (örneğin, 10310^3 4 basamaklıdır, 10210^2 3 basamaklıdır).
  • 10X10^X sayısı 13 basamaklı ise, X değeri 12 olmalıdır (1'in yanında 12 sıfır, toplam 13 basamak).

Tahtadaki formüller

  • (10X−22)/3(10^X - 22) / 3
  • 103=100010^3 = 1000
  • 105=10000010^5 = 100000
  • 10...000−22=9...97810...000 - 22 = 9...978
  • 9...978/3=3...3269...978 / 3 = 3...326
  • X =12= 12

Önemli: 10X10^X bir sayının basamak sayısı X+1'dir. Bu tip sorularda basamak sayısını doğru belirlemek kritik öneme sahiptir.

23:29TC Kimlik Numarası Algoritması

  • Bir T.C. vatandaşının kimlik numarasının son rakamı, soldan 10 basamağın toplamının 10 ile bölümünden kalan ile bulunur.
  • TC kimlik numarasının son rakamı çift olmak zorundadır.

Önemli: TC kimlik numarasının son rakamının çift olması, algoritmanın önemli bir kuralıdır.

24:00TC Kimlik Numarasının Son Rakamı

  • TC kimlik numarasının son rakamı her zaman çifttir.
  • TC kimlik numarasının ilk 10 rakamının toplamı 10'a bölündüğünde, kalan son rakamı verir.

Önemli: TC kimlik numarasının ilk 10 rakamının toplamının 10'a bölümünden kalan, kimlik numarasının son rakamını verir.

25:00TC Kimlik Numarası Toplamı ve Son Rakam İlişkisi

  • Son rakamı 4 olan bir vatandaşın ilk 10 rakamının toplamı, 10'a bölündüğünde 4 kalanını vermelidir.
  • İlk 10 rakamının toplamı en fazla 90 olabilir (10 tane 9 rakamı).
  • Eğer son rakam 4 ise, ilk 10 rakamının toplamı 14, 24, 34, ..., 84 olabilir.
  • Bu durumda TC kimlik numarasının tüm rakamlarının toplamı (ilk 10 rakamın toplamı + son rakam) 18, 28, 38, ..., 88 olabilir.

Tahtadaki formüller

  • 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
  • Son rakam =4= 4
  • İlk 10 rakamın toplamı /10=/ 10 = Kalan (son rakam)
  • 94 (olamaz, max 90)
  • 84 (84/10 kalan 4)
  • 74 (74/10 kalan 4)
  • 64 (64/10 kalan 4)
  • 54 (54/10 kalan 4)
  • 44 (44/10 kalan 4)
  • 14 (14/10 kalan 4)

Önemli: İlk 10 rakamın toplamı en fazla 90 olabileceği için, tüm rakamların toplamı 98 olamaz.

27:53Sayısal Mantık Problemi: Gözde'nin Defteri

  • Gözde 1'den 100'e kadar olan sayıları defterine yazıyor.
  • Her adımda listeden rastgele iki sayıyı seçip topluyor ve 9 ile bölümünden kalanı defterine yazıyor, seçtiği iki sayıyı listeden siliyor.
  • Bu işlem listede iki sayı kalana kadar devam ediyor.
  • Listenin sonundaki iki sayıdan biri 17, diğeri x'tir.
  • Tüm sayıların toplamının 9 ile bölümünden kalan, son iki sayının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

Tahtadaki formüller

  • 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,99,100
  • sonuc =x+17= x + 17
  • 100∗101/2=50∗101100 * 101 / 2 = 50 * 101
  • 50 * 101 (mod 9)
  • 5∗2=10(mod9)=15 * 2 = 10 (mod 9) = 1
  • x+17(mod9)=1x + 17 (mod 9) = 1
  • x+8(mod9)=1x + 8 (mod 9) = 1
  • x=2x = 2

Önemli: Bu tür problemlerde, tüm sayıların toplamının 9'a bölümünden kalan, son kalan sayıların toplamının 9'a bölümünden kalana eşittir.

33:36Uzunluk Problemi: Bölünebilme Kuralları Uygulaması

  • Üç basamaklı A3B uzunluğundaki iki eşit çubuk, farklı şekillerde parçalara ayrılıyor.
  • Birincisi 5 cm'lik parçalara ayrıldığında 2 cm artıyor, yani A3B sayısının 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
  • İkincisi 3 cm'lik parçalara ayrıldığında 1 cm artıyor, yani A3B sayısının 3 ile bölümünden kalan 1'dir.
  • A3B sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, B rakamı 2 veya 7 olabilir.
  • A3B sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
  • A+B toplamının en büyük değeri için B=7 seçilir.
  • A+3+7 = A+10. Bu toplamın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı.
  • A+10 = 1 (mod 3) -> A+1 = 1 (mod 3) -> A = 0 (mod 3).
  • A'nın en büyük değeri 9 olabilir (9+10 = 19, 19/3 kalan 1).
  • Bu durumda A=9 ve B=7 olur, A+B = 16.

Tahtadaki formüller

  • A3B (5 ile böl. kal. 2)
  • A3B (3 ile böl. kal. 1)
  • B =2= 2 veya B =7= 7
  • A+3+B=1(mod3)A+3+B = 1 (mod 3)
  • A+3+7=A+10A+3+7 = A+10
  • A+10=1(mod3)A+10 = 1 (mod 3)
  • A =0,3,6,9= 0, 3, 6, 9
  • A =9,= 9, B =7= 7
  • A+B =16= 16

Önemli: Hem 5 ile bölünebilme hem de 3 ile bölünebilme kuralını aynı anda uygulayarak bilinmeyen rakamları bulma.

35:30Ödevler

  • Konu tekrarı yapın.
  • Taktiklerle Temel Matematik kitabından bölme-bölünebilme kuralları ile ilgili soruları çözün.
  • Soru bankasından bölme-bölünebilme kuralları ile ilgili yaklaşık 100 soru çözün.

Önemli: Konu tekrarı, taktiklerle temel matematik ve soru bankasından yeterli sayıda soru çözmek konuyu pekiştirmek için önemlidir.

Matematik dersindeki diğer konu özetleri

Matematik özetlerinin tümü →

Kendi ders videondan böyle bir özet çıkar

Bağlantıyı yapıştır; zaman damgalı konu özetini, akıl kartlarını ve o konudan soru bankasını çıkaralım.

Akıllı Özetleyici'yi aç →