00:055 ve 11 ile Bölünebilme
- Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, birler basamağı 2 veya 7 olmalıdır.
- Dört basamaklı X23Y sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, Y = 2 veya Y = 7 olur.
- Bir sayının 11 ile tam bölünebilmesi için en sağdan başlayarak rakamlara sırasıyla + - + - işaretleri verilir ve toplamları 0 veya 11'in katı olmalıdır.
- X'in alabileceği en büyük değer 6'dır.
Tahtadaki formüller
- X232 -> + - + - => 2 - 3 + 2 - X = 1 - X = 0 => X = 1
- X237 -> + - + - => 7 - 3 + 2 - X = 6 - X = 0 => X = 6
Önemli: 11 ile bölünebilme kuralı ve 5 ile bölünebilme kuralının birlikte kullanıldığı sorular önemlidir.
02:1645 ile Bölünebilme ve Faktöriyel Sayılar
- Bir pazarcı 45 liradan çift sayıda gömlek alıyorsa, ödediği toplam para 45 ile tam bölünmelidir.
- Bir sayı 45 ile tam bölünüyorsa, hem 9 hem de 5 ile tam bölünmelidir.
- Çift sayıda gömlek alındığı için son rakam 0 olmalıdır (Y=0).
- Rakamları toplamı 9'un katı olmalı (X+1+7+0 = X+8 = 9k).
- X = 1 bulunur.
- Silik çıkan iki rakamın farkı 1-0 = 1'dir.
- Faktöriyel sayı, birden fazla ardışık pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilen doğal sayıdır.
- 5 ile tam bölünen iki basamaklı faktöriyel sayılar: 5x6=30, 4x5=20, 3x4x5=60, 9x10=90.
Tahtadaki formüller
- X17Y -> Y = 0
- X170 -> X + 1 + 7 + 0 = X + 8
- X + 8 = 9 => X = 1
- 1 - 0 = 1
- 5 x 6 = 30
- 4 x 5 = 20
- 3 x 4 x 5 = 60
- 9 x 10 = 90
Önemli: 45 ile bölünebilme için 9 ve 5 ile bölünebilme kurallarının birlikte kullanılması ve faktöriyel sayı tanımını anlamak önemlidir.
07:545 ve 12 ile Bölünebilme Kuralları
- Üç basamaklı ABA doğal sayısı 5 ile tam bölünüyorsa, A = 5 olmalıdır (çünkü A ilk basamak olduğu için 0 olamaz).
- BAB doğal sayısı 12 ile tam bölünüyorsa, hem 4 hem de 3 ile tam bölünmelidir.
- B5B sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağı 4'ün katı olmalıdır. Bu durumda B = 2 (52) veya B = 6 (56) olabilir.
- B5B sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
- Eğer B=2 ise, 252 sayısının rakamları toplamı 2+5+2=9 olup 3 ile tam bölünür.
- Eğer B=6 ise, 656 sayısının rakamları toplamı 6+5+6=17 olup 3 ile tam bölünmez.
- Bu durumda A=5 ve B=2'dir.
- A+B toplamı 5+2=7'dir.
Tahtadaki formüller
- ABA -> 5 ile bölünür => A = 5
- B5B -> 12 ile bölünür => 4 ve 3 ile bölünür
- B5B -> 4 ile bölünür => B = 2 (52) veya B = 6 (56)
- 252 -> 2 + 5 + 2 = 9 (3 ile bölünür)
- 656 -> 6 + 5 + 6 = 17 (3 ile bölünmez)
- A + B = 5 + 2 = 7
Önemli: Bir sayının birden fazla sayıya tam bölünmesi istendiğinde, o sayıların aralarında asal çarpanlarına ayırıp her bir çarpanın bölünebilme kuralını uygulamak önemlidir.
12:00ABC Sayılarının Bölünebilme Özellikleri
- A, B, C sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar olmalı.
- Üç basamaklı ABC, ACB, BAC, BCA sayıları verilmiş.
- Bu sayılardan ikisi 4'e, diğer ikisi 5'e tam bölünmekte.
- Bir sayının 5'e bölünebilmesi için son basamağının 0 veya 5 olması gerekir. Rakamlar sıfırdan farklı olduğu için son basamak 5 olmalı.
- Verilen sayılardan son basamağı C olan ABC ve BCA sayıları 5'e tam bölünür, dolayısıyla C=5.
- Geriye kalan ACB ve BAC sayılarının son basamakları B ve A, 4'e tam bölünmeli.
- 5 ile biten bir sayının 4'e tam bölünmesi için son iki basamağının 52 veya 56 olması gerekir.
- Bu durumda B=2 veya B=6 olur. Eğer B=2 ise A=6, eğer B=6 ise A=2 olur (rakamlar farklı olmalı).
- A, B, C toplamı 6+2+5=13'tür.
Önemli: 5'e bölünebilme kuralı son basamağa bakıldığı için önceliklidir.
14:46Asal Sayılar ve Tam Bölünebilme
- P ve R birbirinden farklı asal sayılar olarak verilmiş.
- 300R sayısı P sayısının bir tam katıdır, yani 300R = P * X şeklinde ifade edilebilir.
- 300 sayısının asal çarpanlarına ayrılması gerekir: 300 = 3 * 100 = 3 * 2 * 5 * 5.
- Bu durumda 300R = 2 * 3 * 5 * 5 * R = P * X olur.
- P asal sayısı olduğu için 2, 3 veya 5 olabilir.
- Soruda P'nin kesinlikle tam böldüğü şıkkı bulmak için, P'nin alabileceği tüm değerlerin (2, 3, 5) ortak böleni olan bir şık aranır.
- 12R, 18R, 20R, 30R, 45R şıkları incelenir.
- 30R sayısı 2, 3 ve 5'e tam bölünür. (2'ye bölünür, 3'e bölünür, 5'e bölünür).
- Diğer şıklar P'nin tüm olası değerleri için bölünmez (örneğin, 45R sayısı P=2 olduğunda bölünmez).
Tahtadaki formüller
- 300R = P x X
- 300 = 3 x 100
- 300 = 3 x 2 x 5 x 5
- P = 2,3,5
Önemli: Bir sayının asal çarpanlarını bulmak, o sayıyı tam bölen asal sayıları belirler.
17:10Basamak Değeri ve Rakamları Toplamı
- X bir doğal sayı olmak üzere, (10^X - 22) / 3 doğal sayısının rakamları toplamı 38'dir.
- 10^X ifadesi, 1'in yanında X tane sıfır olan bir sayıyı temsil eder (örneğin, 10^3 = 1000).
- 10^X - 22 işlemi yapıldığında, sonuçta son iki basamak 78, diğer basamaklar 9 olur (örneğin, 1000 - 22 = 978; 10000 - 22 = 9978).
- Bu sayının 3'e bölünmesi gerekir. Sonuçta oluşan sayının rakamları toplamı 38 olmalı.
- Eğer 10^X - 22 = 9...978 ise, bu sayı 3'e bölündüğünde 3...326 şeklinde bir sayı oluşur.
- Bu sayının rakamları toplamının 38 olması için, 2+6=8 ve 38-8=30 kalır.
- 30 sayısı, 10 tane 3'ün toplamıdır. Yani, 3...326 sayısında 10 tane 3 rakamı olmalı.
- Bu durumda oluşan sayı 10 tane 3 ve 2, 6 rakamlarından oluşur, yani toplam 12 basamaklıdır.
- 10^X - 22 sayısı 13 basamaklı bir sayı olmalı ki, 3'e bölündüğünde 12 basamaklı bir sayı elde edilsin (örneğin, 10^3 4 basamaklıdır, 10^2 3 basamaklıdır).
- 10^X sayısı 13 basamaklı ise, X değeri 12 olmalıdır (1'in yanında 12 sıfır, toplam 13 basamak).
Tahtadaki formüller
- (10^X - 22) / 3
- 10^3 = 1000
- 10^5 = 100000
- 10...000 - 22 = 9...978
- 9...978 / 3 = 3...326
- X = 12
Önemli: 10^X bir sayının basamak sayısı X+1'dir. Bu tip sorularda basamak sayısını doğru belirlemek kritik öneme sahiptir.
23:29TC Kimlik Numarası Algoritması
- Bir T.C. vatandaşının kimlik numarasının son rakamı, soldan 10 basamağın toplamının 10 ile bölümünden kalan ile bulunur.
- TC kimlik numarasının son rakamı çift olmak zorundadır.
Önemli: TC kimlik numarasının son rakamının çift olması, algoritmanın önemli bir kuralıdır.
24:00TC Kimlik Numarasının Son Rakamı
- TC kimlik numarasının son rakamı her zaman çifttir.
- TC kimlik numarasının ilk 10 rakamının toplamı 10'a bölündüğünde, kalan son rakamı verir.
Önemli: TC kimlik numarasının ilk 10 rakamının toplamının 10'a bölümünden kalan, kimlik numarasının son rakamını verir.
25:00TC Kimlik Numarası Toplamı ve Son Rakam İlişkisi
- Son rakamı 4 olan bir vatandaşın ilk 10 rakamının toplamı, 10'a bölündüğünde 4 kalanını vermelidir.
- İlk 10 rakamının toplamı en fazla 90 olabilir (10 tane 9 rakamı).
- Eğer son rakam 4 ise, ilk 10 rakamının toplamı 14, 24, 34, ..., 84 olabilir.
- Bu durumda TC kimlik numarasının tüm rakamlarının toplamı (ilk 10 rakamın toplamı + son rakam) 18, 28, 38, ..., 88 olabilir.
Tahtadaki formüller
- 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Son rakam = 4
- İlk 10 rakamın toplamı / 10 = Kalan (son rakam)
- 94 (olamaz, max 90)
- 84 (84/10 kalan 4)
- 74 (74/10 kalan 4)
- 64 (64/10 kalan 4)
- 54 (54/10 kalan 4)
- 44 (44/10 kalan 4)
- 14 (14/10 kalan 4)
Önemli: İlk 10 rakamın toplamı en fazla 90 olabileceği için, tüm rakamların toplamı 98 olamaz.
27:53Sayısal Mantık Problemi: Gözde'nin Defteri
- Gözde 1'den 100'e kadar olan sayıları defterine yazıyor.
- Her adımda listeden rastgele iki sayıyı seçip topluyor ve 9 ile bölümünden kalanı defterine yazıyor, seçtiği iki sayıyı listeden siliyor.
- Bu işlem listede iki sayı kalana kadar devam ediyor.
- Listenin sonundaki iki sayıdan biri 17, diğeri x'tir.
- Tüm sayıların toplamının 9 ile bölümünden kalan, son iki sayının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
Tahtadaki formüller
- 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...,99,100
- sonuc = x + 17
- 100 * 101 / 2 = 50 * 101
- 50 * 101 (mod 9)
- 5 * 2 = 10 (mod 9) = 1
- x + 17 (mod 9) = 1
- x + 8 (mod 9) = 1
- x = 2
Önemli: Bu tür problemlerde, tüm sayıların toplamının 9'a bölümünden kalan, son kalan sayıların toplamının 9'a bölümünden kalana eşittir.
33:36Uzunluk Problemi: Bölünebilme Kuralları Uygulaması
- Üç basamaklı A3B uzunluğundaki iki eşit çubuk, farklı şekillerde parçalara ayrılıyor.
- Birincisi 5 cm'lik parçalara ayrıldığında 2 cm artıyor, yani A3B sayısının 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
- İkincisi 3 cm'lik parçalara ayrıldığında 1 cm artıyor, yani A3B sayısının 3 ile bölümünden kalan 1'dir.
- A3B sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, B rakamı 2 veya 7 olabilir.
- A3B sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
- A+B toplamının en büyük değeri için B=7 seçilir.
- A+3+7 = A+10. Bu toplamın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı.
- A+10 = 1 (mod 3) -> A+1 = 1 (mod 3) -> A = 0 (mod 3).
- A'nın en büyük değeri 9 olabilir (9+10 = 19, 19/3 kalan 1).
- Bu durumda A=9 ve B=7 olur, A+B = 16.
Tahtadaki formüller
- A3B (5 ile böl. kal. 2)
- A3B (3 ile böl. kal. 1)
- B = 2 veya B = 7
- A+3+B = 1 (mod 3)
- A+3+7 = A+10
- A+10 = 1 (mod 3)
- A = 0, 3, 6, 9
- A = 9, B = 7
- A+B = 16
Önemli: Hem 5 ile bölünebilme hem de 3 ile bölünebilme kuralını aynı anda uygulayarak bilinmeyen rakamları bulma.
35:30Ödevler
- Konu tekrarı yapın.
- Taktiklerle Temel Matematik kitabından bölme-bölünebilme kuralları ile ilgili soruları çözün.
- Soru bankasından bölme-bölünebilme kuralları ile ilgili yaklaşık 100 soru çözün.
Önemli: Konu tekrarı, taktiklerle temel matematik ve soru bankasından yeterli sayıda soru çözmek konuyu pekiştirmek için önemlidir.