00:05Katı Cisimler Konusuna Giriş
- Bu ders katı cisimler konusunu işleyecektir.
- ÖSYM genellikle analitik geometri veya katı cisimlerden birini tercih eder, çoğunlukla analitik geometri sorar.
- Katı cisimlerden soru gelme ihtimali de olduğu için bu konu iyi öğrenilmelidir.
00:42Prizmaların Genel Özellikleri
- Katı cisimlerde ilk bilinmesi gereken prizmalardır.
- Prizmaların hacmi, taban alanı çarpı yükseklik ile bulunur.
- Eğer prizmanın tepesi sivriyse (koni, piramit gibi), hacim taban alanı çarpı yükseklik bölü 3 ile bulunur.
- Yanal alan, taban çevresi çarpı yükseklik ile bulunur.
- Tüm alan, alt taban alanı artı üst taban alanı artı yanal alan formülleriyle bulunur.
Tahtadaki formüller
- Hacim (V) = Taban Alanı x Yükseklik
- Yanal Alan (Y.A) = Taban Çevresi x Yükseklik
- Tüm Alan (A) = Alt Taban Alanı + Üst Taban Alanı + Yanal
Önemli: Tepesi sivri cisimlerde hacim formülünde bölü 3 unutulmamalıdır.
04:13Kare Dik Prizma
- Kare dik prizmanın alt ve üst tabanları kare, yan yüzeyleri dikdörtgen şeklindedir.
- Tabanı kare olduğu için dört kenarı birbirine eşittir.
- Hacmi, taban alanı (a²) çarpı yükseklik (h) ile bulunur.
- Yanal alanı, taban çevresi (4a) çarpı yükseklik (h) ile bulunur.
- Tüm alanı, iki taban alanı (2a²) artı yanal alan (4ah) ile bulunur.
Tahtadaki formüller
- V = a · a · h = a² · h
- Y.A = 4a · h
- A = a² + a² + 4ah = 2a² + 4ah
Önemli: Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir (kare prizma, dikdörtgen prizma vb.).
07:01Dikdörtgen Dik Prizma
- Dikdörtgen dik prizmanın her bir yüzeyi dikdörtgen olan üç boyutlu geometrik şekle dikdörtgenler prizması denir.
- Hacmi, üç ayrıtın çarpımı (a · b · c) ile bulunur.
- Yanal alanı, her bir yan yüzeyin alanı (a·c, b·c) ve bunların ikişer tanesinin toplamı (2ac + 2bc) ile bulunur.
- Tüm alanı, her bir yüzey çiftinin alanlarının toplamı (2ab + 2ac + 2bc) ile bulunur.
- Cisim köşegeni, üç ayrıtın karelerinin toplamının karekökü (√(a² + b² + c²)) ile bulunur.
- Yüzey köşegeni, yüzeydeki iki ayrıtın karelerinin toplamının karekökü ile bulunur.
Tahtadaki formüller
- V = a · b · c
- Y.A = 2ac + 2bc = 2c(a+b)
- A = 2(ab + ac + bc)
- Cisim köşegeni = √(a² + b² + c²)
Önemli: Cisim köşegeni, prizmanın en uzak iki köşesi arasındaki mesafedir ve üç ayrıtın karelerinin toplamının kareköküyle bulunur.
11:08Prizma Hacim ve Alan Hesaplama Örneği
- Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunlukları 2, 3 ve 5 sayılarıyla orantılıdır (2k, 3k, 5k).
- Prizmanın hacmi 810 cm³ olarak verilmiştir.
- Hacim formülü (a · b · c) kullanılarak k değeri bulunur.
- Ayrıtlar 2k, 3k, 5k ise hacim (2k)(3k)(5k) = 30k³ olur.
- 30k³ = 810 eşitliğinden k³ = 27 ve k = 3 bulunur.
- Ayrıt uzunlukları: a = 2·3=6 cm, b = 3·3=9 cm, c = 5·3=15 cm.
- Prizmanın alanı (tüm alanı) 2(ab + ac + bc) formülüyle bulunur.
Tahtadaki formüller
- V = a · b · c
- A = 2(ab + ac + bc)
Önemli: Orantılı verilen ayrıt uzunluklarında, orantı sabiti 'k' bulunarak gerçek ayrıt uzunlukları hesaplanır.
12:00Dikdörtgenler Prizmasının Alanı
- Dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunlukları 2, 3, 5 sayılarıyla orantılı ise, bu ayrıtlar 2k, 3k, 5k olarak ifade edilir.
- Prizmanın hacmi, ayrıt uzunluklarının çarpımıdır (V=a.b.c).
- Hacim 810 cm³ olarak verildiğinde, k değeri 3 bulunur.
- Prizmanın alanı, ikişerli ayrıt çarpımlarının iki katıdır (Alan = 2(a.b + a.c + b.c)).
- Ayrıtlar 6, 9, 15 cm olduğunda, alan 558 cm² olarak hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- V = a.b.c
- 2k . 3k . 5k = 810
- k³ = 27
- k = 3
- Alan = 2.(a.b + a.c + b.c)
- Alan = 2.(6.9 + 6.15 + 9.15)
- Alan = 2.(54 + 90 + 135)
- Alan = 2.(279)
- Alan = 558
Önemli: Dikdörtgenler prizmasının alan formülünü ve hacim formülünü doğru uygulamak önemlidir.
14:15Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi (Cisim Köşegeni Kullanımı)
- Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni (EB) 17 cm, ayrıtlar AB=9 cm, BC=12 cm olarak verilmiştir.
- Taban ayrıtları 9 ve 12 olan bir dikdörtgenin köşegeni (BD) 9-12-15 özel üçgeninden 15 cm bulunur.
- Cisim köşegeni, taban köşegeni ve yükseklik arasında bir dik üçgen oluşur (BD, DE, BE).
- 15, DE, 17 özel dik üçgeninden (8-15-17 üçgeni) yükseklik (DE) 8 cm bulunur.
- Prizmanın hacmi, üç ayrıtın çarpımıdır (9 x 12 x 8).
Tahtadaki formüller
- AB = 9 cm
- BC = 12 cm
- EB = 17 cm
- BD² = AB² + BC²
- BD² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
- BD = 15
- BE² = BD² + DE²
- 17² = 15² + DE²
- 289 = 225 + DE²
- DE² = 64
- DE = 8
- Hacim = 9 x 12 x 8
- Hacim = 108 x 8
- Hacim = 864
Önemli: Cisim köşegeni ve taban köşegeni arasındaki ilişkiyi kullanarak eksik ayrıtı bulma yöntemi kritiktir.
15:50Farklı Yüzey Alanları Verilen Prizmanın Hacmi
- Ayrıtları tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının farklı yüzeylerinin alanları 12 cm², 15 cm² ve 20 cm² olarak verilmiştir.
- Bu alanlar, ayrıtların ikişerli çarpımlarıdır: a.b=12, b.c=15, a.c=20.
- Prizmanın hacmi (V) a.b.c formülüyle bulunur.
- Üç denklemi taraf tarafa çarparak (a.b).(b.c).(a.c) = 12.15.20 eşitliği elde edilir.
- Bu çarpım a².b².c² = (a.b.c)² sonucunu verir.
- 12.15.20 çarpımı 4.3.3.5.4.5 = 3².4².5² olarak düzenlenebilir.
- Buradan (a.b.c)² = (3.4.5)² ve a.b.c = 60 bulunur.
Tahtadaki formüller
- a.b = 12
- b.c = 15
- a.c = 20
- V = a.b.c = ?
- (a.b).(b.c).(a.c) = 12 . 15 . 20
- a² . b² . c² = (4.3) . (3.5) . (4.5)
- a² . b² . c² = 3² . 4² . 5²
- (a.b.c)² = (3 . 4 . 5)²
- a.b.c = 60
Önemli: Farklı yüzey alanları verilen prizmanın hacmini bulmak için ayrıt çarpımlarını kullanma yöntemi sınavda çıkabilir.
18:19Döndürülerek Elde Edilemeyen Cisimler
- Kesik koni, bir dik yamuğun bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
- Küre, bir dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
- Silindir, bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
- Koni, bir dik üçgenin dik kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
- Dikdörtgenler prizması, herhangi bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilemez.
Önemli: Döndürülerek elde edilen ve edilemeyen geometrik cisimlerin temel özelliklerini bilmek, şekil sorularında yardımcı olur.
20:26Dikdörtgenler Prizmasında Üçgen Alanı Hesaplama
- Prizmada BC=6 cm, AB=8 cm, DE=26 cm olarak verilmiştir.
- Taban ayrıtları 6 ve 8 olan dikdörtgenin köşegeni (BD) 6-8-10 özel üçgeninden 10 cm bulunur.
- DE uzunluğu 26 cm, BD uzunluğu 10 cm ve yükseklik (BE) arasında bir dik üçgen (BDE) oluşur.
- Bu dik üçgende (10, BE, 26) 5-12-13 özel üçgeninin 2 katı olduğu için BE uzunluğu 24 cm bulunur.
- BDE üçgeninin alanı, tabanı BD (10) ve yüksekliği BE (24) kullanılarak hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- BC = 6 cm
- AB = 8 cm
- DE = 26 cm
- BD² = AB² + BC²
- BD² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
- BD = 10
- BE² + BD² = DE²
- BE² + 10² = 26²
- BE² + 100 = 676
- BE² = 576
- BE = 24
- Alan(BDE) = (Taban x Yükseklik) / 2
- Alan(BDE) = (10 x 24) / 2
- Alan(BDE) = 120
Önemli: Prizma içindeki dik üçgenleri ve özel üçgenleri doğru tespit etmek, alan hesaplamaları için hayati öneme sahiptir.
24:00Küpün Özellikleri
- Küp, tüm yüzeyleri aynı olan bir prizmadır.
- Küpün tüm ayrıt uzunlukları eşittir (a).
- Küpün hacmi, taban alanı çarpı yükseklik formülüyle bulunur.
- Küpün tüm yüzey alanı, 6 adet karenin alanının toplamıdır.
- Küpün cisim köşegeni, ayrıtların karelerinin kareköküdür.
Tahtadaki formüller
- HACİM = a³
- A = 6a²
- Ck = a√3
- V = a • a • a = a³
- Y.A = 4a • a = 4a²
- A = a² + a² + 4a² = 6a²
25:17Küp Problemi 1: Yüzey Alanı Hesaplama
- Kenarı 2 cm olan küçük küplerden, hacmi en küçük olacak şekilde farklı bir küp oluşturuluyor.
- Oluşturulan yeni küpün bir kenarı 4 cm olur (2 küçük küp yan yana konulduğunda).
- Yeni küpün tüm yüzey alanı 6a² formülüyle hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- Alan = 6a²
- Alan = 6 * 4²
- Alan = 6 * 16
- Alan = 96
- V = 4*4*4 / 2*2*2 = 8
Önemli: Küçük küplerden en küçük hacimli yeni bir küp oluşturulması için, küçük küpün kenarının 2 katı uzunluğunda bir kenara sahip olunur.
28:18Küp Problemi 2: Taralı Alan Hesaplama
- Küpün hacmi 64 cm³ ise bir kenarı (a) 4 cm'dir.
- Taralı alan bir dikdörtgendir.
- Dikdörtgenin kenarları küpün ayrıtı (4 cm) ve yüzey köşegeni (4√2 cm) olur.
- Taralı alan, dikdörtgenin kenar uzunluklarının çarpımıyla bulunur.
Tahtadaki formüller
- V = a³ = 64 => a = 4
- Alan = 4 * 4√2 = 16√2
29:59Küp Problemi 3: Üçgen Alanı Hesaplama
- Küpün hacmi 216 cm³ ise bir kenarı (a) 6 cm'dir.
- İstenen üçgenin kenarları küpün ayrıtı (6 cm) ve yüzey köşegeni (6√2 cm) olur.
- Bu bir dik üçgendir, çünkü küpün ayrıtları birbirine diktir.
- Üçgenin alanı (taban * yükseklik) / 2 formülüyle hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- V = a³ = 216 => a = 6
- Alan = (6 * 6√2) / 2 = 18√2
31:16Küp Problemi 4: Taralı Alan Hesaplama
- Küpün alanı 24 cm² ise bir kenarı (a) 2 cm'dir.
- Taralı alan bir dik üçgendir.
- Üçgenin kenarları küpün ayrıtı (2 cm) ve yüzey köşegeni (2√2 cm) olur.
- Üçgenin alanı (taban * yükseklik) / 2 formülüyle hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- Alan = 6a² = 24 => a² = 4 => a = 2
- T.Alan = (2 * 2√2) / 2 = 2√2
32:28Silindir Giriş
- Silindir, alt ve üst tabanı daire olan dik prizmadır.
- Tavan yarıçapı 'r', yüksekliği 'h' olmak üzere silindirin özellikleri incelenecektir.