Katı Cisimler ve Prizmalar

00:05Katı Cisimler Konusuna Giriş

Bu ders katı cisimler konusunu işleyecektir.
ÖSYM genellikle analitik geometri veya katı cisimlerden birini tercih eder, çoğunlukla analitik geometri sorar.
Katı cisimlerden soru gelme ihtimali de olduğu için bu konu iyi öğrenilmelidir.

00:42Prizmaların Genel Özellikleri

Katı cisimlerde ilk bilinmesi gereken prizmalardır.
Prizmaların hacmi, taban alanı çarpı yükseklik ile bulunur.
Eğer prizmanın tepesi sivriyse (koni, piramit gibi), hacim taban alanı çarpı yükseklik bölü 3 ile bulunur.
Yanal alan, taban çevresi çarpı yükseklik ile bulunur.
Tüm alan, alt taban alanı artı üst taban alanı artı yanal alan formülleriyle bulunur.

Tahtadaki formüller

Hacim (V) = Taban Alanı x Yükseklik
Yanal Alan (Y.A) = Taban Çevresi x Yükseklik
Tüm Alan (A) = Alt Taban Alanı + Üst Taban Alanı + Yanal

Önemli: Tepesi sivri cisimlerde hacim formülünde bölü 3 unutulmamalıdır.

04:13Kare Dik Prizma

Kare dik prizmanın alt ve üst tabanları kare, yan yüzeyleri dikdörtgen şeklindedir.
Tabanı kare olduğu için dört kenarı birbirine eşittir.
Hacmi, taban alanı (a²) çarpı yükseklik (h) ile bulunur.
Yanal alanı, taban çevresi (4a) çarpı yükseklik (h) ile bulunur.
Tüm alanı, iki taban alanı (2a²) artı yanal alan (4ah) ile bulunur.

Tahtadaki formüller

V $= a$ · a · $h =$ a² · h
Y.A $= 4a$ · h
A = a² + a² $+ 4ah = 2a² + 4ah$

Önemli: Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir (kare prizma, dikdörtgen prizma vb.).

07:01Dikdörtgen Dik Prizma

Dikdörtgen dik prizmanın her bir yüzeyi dikdörtgen olan üç boyutlu geometrik şekle dikdörtgenler prizması denir.
Hacmi, üç ayrıtın çarpımı (a · b · c) ile bulunur.
Yanal alanı, her bir yan yüzeyin alanı (a·c, b·c) ve bunların ikişer tanesinin toplamı (2ac + 2bc) ile bulunur.
Tüm alanı, her bir yüzey çiftinin alanlarının toplamı (2ab + 2ac + 2bc) ile bulunur.
Cisim köşegeni, üç ayrıtın karelerinin toplamının karekökü (√(a² + b² + c²)) ile bulunur.
Yüzey köşegeni, yüzeydeki iki ayrıtın karelerinin toplamının karekökü ile bulunur.

Tahtadaki formüller

V $= a$ · b · c
Y.A $= 2ac + 2bc = 2c(a+b)$
A $= 2(ab +$ ac + bc)
Cisim köşegeni $= √(a² +$ b² + c²)

Önemli: Cisim köşegeni, prizmanın en uzak iki köşesi arasındaki mesafedir ve üç ayrıtın karelerinin toplamının kareköküyle bulunur.

11:08Prizma Hacim ve Alan Hesaplama Örneği

Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunlukları 2, 3 ve 5 sayılarıyla orantılıdır (2k, 3k, 5k).
Prizmanın hacmi 810 cm³ olarak verilmiştir.
Hacim formülü (a · b · c) kullanılarak k değeri bulunur.
Ayrıtlar 2k, 3k, 5k ise hacim (2k)(3k)(5k) = 30k³ olur.
30k³ = 810 eşitliğinden k³ = 27 ve k = 3 bulunur.
Ayrıt uzunlukları: a = 2·3=6 cm, b = 3·3=9 cm, c = 5·3=15 cm.
Prizmanın alanı (tüm alanı) 2(ab + ac + bc) formülüyle bulunur.

Tahtadaki formüller

V $= a$ · b · c
A $= 2(ab +$ ac + bc)

Önemli: Orantılı verilen ayrıt uzunluklarında, orantı sabiti 'k' bulunarak gerçek ayrıt uzunlukları hesaplanır.

12:00Dikdörtgenler Prizmasının Alanı

Dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunlukları 2, 3, 5 sayılarıyla orantılı ise, bu ayrıtlar 2k, 3k, 5k olarak ifade edilir.
Prizmanın hacmi, ayrıt uzunluklarının çarpımıdır (V=a.b.c).
Hacim 810 cm³ olarak verildiğinde, k değeri 3 bulunur.
Prizmanın alanı, ikişerli ayrıt çarpımlarının iki katıdır (Alan = 2(a.b + a.c + b.c)).
Ayrıtlar 6, 9, 15 cm olduğunda, alan 558 cm² olarak hesaplanır.

Tahtadaki formüller

V = a.b.c
$2k . 3k . 5k = 810$
k³ $= 27$
$k = 3$
Alan $= 2.(a.b +$ a.c + b.c)
Alan $= 2.(6.9 + 6.15 + 9.15)$
Alan $= 2.(54 + 90 + 135)$
Alan $= 2.(279)$
Alan $= 558$

Önemli: Dikdörtgenler prizmasının alan formülünü ve hacim formülünü doğru uygulamak önemlidir.

14:15Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi (Cisim Köşegeni Kullanımı)

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni (EB) 17 cm, ayrıtlar AB=9 cm, BC=12 cm olarak verilmiştir.
Taban ayrıtları 9 ve 12 olan bir dikdörtgenin köşegeni (BD) 9-12-15 özel üçgeninden 15 cm bulunur.
Cisim köşegeni, taban köşegeni ve yükseklik arasında bir dik üçgen oluşur (BD, DE, BE).
15, DE, 17 özel dik üçgeninden (8-15-17 üçgeni) yükseklik (DE) 8 cm bulunur.
Prizmanın hacmi, üç ayrıtın çarpımıdır (9 x 12 x 8).

Tahtadaki formüller

AB $= 9$ cm
BC $= 12$ cm
EB $= 17$ cm
BD² = AB² + BC²
BD² $= 9² + 12² = 81 + 144 = 225$
BD $= 15$
BE² = BD² + DE²
$17² = 15² +$ DE²
$289 = 225 +$ DE²
DE² $= 64$
DE $= 8$
Hacim $= 9 x 12 x 8$
Hacim $= 108 x 8$
Hacim $= 864$

Önemli: Cisim köşegeni ve taban köşegeni arasındaki ilişkiyi kullanarak eksik ayrıtı bulma yöntemi kritiktir.

15:50Farklı Yüzey Alanları Verilen Prizmanın Hacmi

Ayrıtları tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının farklı yüzeylerinin alanları 12 cm², 15 cm² ve 20 cm² olarak verilmiştir.
Bu alanlar, ayrıtların ikişerli çarpımlarıdır: a.b=12, b.c=15, a.c=20.
Prizmanın hacmi (V) a.b.c formülüyle bulunur.
Üç denklemi taraf tarafa çarparak (a.b).(b.c).(a.c) = 12.15.20 eşitliği elde edilir.
Bu çarpım a².b².c² = (a.b.c)² sonucunu verir.
12.15.20 çarpımı 4.3.3.5.4.5 = 3².4².5² olarak düzenlenebilir.
Buradan (a.b.c)² = (3.4.5)² ve a.b.c = 60 bulunur.

Tahtadaki formüller

a.b $= 12$
b.c $= 15$
a.c $= 20$
V = a.b.c = ?
$(a.b).(b.c).(a.c) = 12 . 15 . 20$
a² . b² . c² $= (4.3) . (3.5) . (4.5)$
a² . b² . c² $= 3² . 4² . 5²$
$(a.b.c)² = (3 . 4 . 5)²$
a.b.c $= 60$

Önemli: Farklı yüzey alanları verilen prizmanın hacmini bulmak için ayrıt çarpımlarını kullanma yöntemi sınavda çıkabilir.

18:19Döndürülerek Elde Edilemeyen Cisimler

Kesik koni, bir dik yamuğun bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
Küre, bir dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
Silindir, bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
Koni, bir dik üçgenin dik kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle elde edilir.
Dikdörtgenler prizması, herhangi bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilemez.

Önemli: Döndürülerek elde edilen ve edilemeyen geometrik cisimlerin temel özelliklerini bilmek, şekil sorularında yardımcı olur.

20:26Dikdörtgenler Prizmasında Üçgen Alanı Hesaplama

Prizmada BC=6 cm, AB=8 cm, DE=26 cm olarak verilmiştir.
Taban ayrıtları 6 ve 8 olan dikdörtgenin köşegeni (BD) 6-8-10 özel üçgeninden 10 cm bulunur.
DE uzunluğu 26 cm, BD uzunluğu 10 cm ve yükseklik (BE) arasında bir dik üçgen (BDE) oluşur.
Bu dik üçgende (10, BE, 26) 5-12-13 özel üçgeninin 2 katı olduğu için BE uzunluğu 24 cm bulunur.
BDE üçgeninin alanı, tabanı BD (10) ve yüksekliği BE (24) kullanılarak hesaplanır.

Tahtadaki formüller

BC $= 6$ cm
AB $= 8$ cm
DE $= 26$ cm
BD² = AB² + BC²
BD² $= 8² + 6² = 64 + 36 = 100$
BD $= 10$
BE² + BD² = DE²
BE² $+ 10² = 26²$
BE² $+ 100 = 676$
BE² $= 576$
BE $= 24$
Alan(BDE) $= (Taban x$ Yükseklik) / 2
Alan(BDE) $= (10 x 24) / 2$
Alan(BDE) $= 120$

Önemli: Prizma içindeki dik üçgenleri ve özel üçgenleri doğru tespit etmek, alan hesaplamaları için hayati öneme sahiptir.

24:00Küpün Özellikleri

Küp, tüm yüzeyleri aynı olan bir prizmadır.
Küpün tüm ayrıt uzunlukları eşittir (a).
Küpün hacmi, taban alanı çarpı yükseklik formülüyle bulunur.
Küpün tüm yüzey alanı, 6 adet karenin alanının toplamıdır.
Küpün cisim köşegeni, ayrıtların karelerinin kareköküdür.

Tahtadaki formüller

HACİM = a³
A $= 6a²$
Ck $= a\sqrt{3}$
V $= a$ • a • $a =$ a³
Y.A $= 4a$ • $a = 4a²$
A = a² + a² $+ 4a² = 6a²$

25:17Küp Problemi 1: Yüzey Alanı Hesaplama

Kenarı 2 cm olan küçük küplerden, hacmi en küçük olacak şekilde farklı bir küp oluşturuluyor.
Oluşturulan yeni küpün bir kenarı 4 cm olur (2 küçük küp yan yana konulduğunda).
Yeni küpün tüm yüzey alanı 6a² formülüyle hesaplanır.

Tahtadaki formüller

Alan $= 6a²$
Alan $= 6 * 4²$
Alan $= 6 * 16$
Alan $= 96$
V $= 4*4*4 / 2*2*2 = 8$

Önemli: Küçük küplerden en küçük hacimli yeni bir küp oluşturulması için, küçük küpün kenarının 2 katı uzunluğunda bir kenara sahip olunur.

28:18Küp Problemi 2: Taralı Alan Hesaplama

Küpün hacmi 64 cm³ ise bir kenarı (a) 4 cm'dir.
Taralı alan bir dikdörtgendir.
Dikdörtgenin kenarları küpün ayrıtı (4 cm) ve yüzey köşegeni (4√2 cm) olur.
Taralı alan, dikdörtgenin kenar uzunluklarının çarpımıyla bulunur.

Tahtadaki formüller

V = a³ $= 64 => a = 4$
Alan $= 4 * 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

29:59Küp Problemi 3: Üçgen Alanı Hesaplama

Küpün hacmi 216 cm³ ise bir kenarı (a) 6 cm'dir.
İstenen üçgenin kenarları küpün ayrıtı (6 cm) ve yüzey köşegeni (6√2 cm) olur.
Bu bir dik üçgendir, çünkü küpün ayrıtları birbirine diktir.
Üçgenin alanı (taban * yükseklik) / 2 formülüyle hesaplanır.

Tahtadaki formüller

V = a³ $= 216 => a = 6$
Alan $= (6 * 6\sqrt{2}) / 2 = 18\sqrt{2}$

31:16Küp Problemi 4: Taralı Alan Hesaplama

Küpün alanı 24 cm² ise bir kenarı (a) 2 cm'dir.
Taralı alan bir dik üçgendir.
Üçgenin kenarları küpün ayrıtı (2 cm) ve yüzey köşegeni (2√2 cm) olur.
Üçgenin alanı (taban * yükseklik) / 2 formülüyle hesaplanır.

Tahtadaki formüller

Alan $= 6a² = 24 =>$ a² $= 4 => a = 2$
T.Alan $= (2 * 2\sqrt{2}) / 2 = 2\sqrt{2}$

32:28Silindir Giriş

Silindir, alt ve üst tabanı daire olan dik prizmadır.
Tavan yarıçapı 'r', yüksekliği 'h' olmak üzere silindirin özellikleri incelenecektir.

Katı Cisimler ve Prizmalar

Bu özetten ne eksik?

00:05Katı Cisimler Konusuna Giriş

00:42Prizmaların Genel Özellikleri

04:13Kare Dik Prizma

07:01Dikdörtgen Dik Prizma

11:08Prizma Hacim ve Alan Hesaplama Örneği

12:00Dikdörtgenler Prizmasının Alanı

14:15Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi (Cisim Köşegeni Kullanımı)

15:50Farklı Yüzey Alanları Verilen Prizmanın Hacmi

18:19Döndürülerek Elde Edilemeyen Cisimler

20:26Dikdörtgenler Prizmasında Üçgen Alanı Hesaplama

24:00Küpün Özellikleri

25:17Küp Problemi 1: Yüzey Alanı Hesaplama

28:18Küp Problemi 2: Taralı Alan Hesaplama

29:59Küp Problemi 3: Üçgen Alanı Hesaplama

31:16Küp Problemi 4: Taralı Alan Hesaplama

32:28Silindir Giriş

Matematik dersindeki diğer konu özetleri

Kendi ders videondan böyle bir özet çıkar