7. Sınıf Matematik Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

00:14Rasyonel Sayılar ve Gösterimi

• a herhangi bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
• Rasyonel sayılar Q sembolü ile gösterilir.
• Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilirken iki tam sayı arası paydasındaki sayı kadar eş parçaya bölünür.
• Bu eş parçalardan sayı pozitifse sağa doğru, negatifse sola doğru pay kadar sayılır.
• Sıfırdan büyük rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar denir.
• Sıfırdan küçük rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir.

01:48Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme

• 5/6 rasyonel sayısını sayı doğrusu üzerinde gösterirken 0 ile 1 arasına 6 eş parça bölünür ve 5. nokta işaretlenir.
• -2 tam 4/5 rasyonel sayısını sayı doğrusu üzerinde gösterirken -2 ile -3 arasına 5 eş parça bölünür ve -2'den sonra 4. nokta işaretlenir.

03:50Sayı Doğrusundaki Noktayı Rasyonel Sayı Olarak Bulma

• Verilen sayı doğrusunda -2 ile -1 arası 5 eş parçaya bölünmüştür.
• Y noktası -1 tam 4/5 rasyonel sayısına karşılık gelir.

04:40Devirli Ondalık Sayılar

• Bir rasyonel sayı ondalıklı yazıldığında, ondalık kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra sonsuza kadar tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalık sayı denir.
• Bir devirli ondalık açılımı a/b şeklinde yazılırken, virgül ve devreden dikkate alınmadan okunan sayıdan, devretmeyen sayı çıkarılarak paya yazılır.
• Paydaya ise virgülden sonra devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağında devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.

Önemli: Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirme kuralı önemlidir.

07:27Sayı Doğrusu Üzerinde Göstererek Sıralama

• Sayı doğrusunda soldan sağa doğru gidildikçe sayıların değeri artar.
• 1/3, 1 tam 2/5 ve -1 tam 1/6 sayılarını sıralarken sayı doğrusundaki yerleri belirlenir.
• Sıralama: 1 tam 2/5 > 1/3 > -1 tam 1/6

09:40Ondalık Kesir Şeklinde Yazarak Sıralama

• Rasyonel sayıları sıralarken paydalar eşitlenebilir.
• 5/2, 12/5, 23/10 sayılarını ondalık kesir şeklinde yazarak sıralamak için paydaları 10'da eşitlenir.
• 5/2 = 25/10, 12/5 = 24/10, 23/10 = 23/10 olur.
• Sıralama: 25/10 > 24/10 > 23/10 yani 5/2 > 12/5 > 23/10.

10:30Negatif Sayılarda Sıralama

• Negatif sayılar kendi aralarında karşılaştırılırken önce sayıların işareti göz önüne alınmadan sıralama yapılır.
• Sonra pozitif sayılar için bulunan sıralamanın yönü değiştirilir.
• Örneğin, 4 < 8 < 12 olduğundan -12 < -8 < -4 olur.
• 1 < 1/4 < 1/8 olduğundan -1/8 < -1/4 < -1 olur.

Önemli: Negatif sayılarda sıralama yaparken işaretleri göz ardı edip pozitif gibi sıralayıp sonra yönü tersine çevirmek önemlidir.

11:10Payların Eşitliğinden Yararlanarak Sıralama

• Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan, paydası küçük olan daha büyüktür.
• 7/2, 7/4, 7/9 sayılarını paylarının eşitliğini dikkate alarak sıralarsak:
• 7/2 > 7/4 > 7/9
• 3/7, 2/5, 8/10 sayılarını sıralamak için payları eşitlenir. Paylar 240'ta eşitlenebilir.

Önemli: Payları eşit rasyonel sayılarda, paydası küçük olanın daha büyük olduğu kuralı unutulmamalıdır.

12:00Payları Eşit Rasyonel Sayılarda Sıralama

• Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan, paydası küçük olan daha büyüktür.

13:24Paydaları Eşit Rasyonel Sayılarda Sıralama

• Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan, payı büyük olan daha büyüktür.

14:26Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi

• Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinde paydalar eşit olmalıdır.
• Paydalar eşitse, paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynı kalır.

15:28Tam Sayılı Kesirlerde Toplama İşlemi

• Tam sayılı kesirlerde toplama işlemi yapılırken, tam kısımlar kendi arasında, kesir kısımları kendi arasında toplanabilir.
• Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilerek de toplama işlemi yapılabilir.

16:55Ondalık Kesirlerde Toplama İşlemi

• Ondalık kesirler toplanırken, virgüller ve aynı isimli basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır.
• Doğal sayılarda olduğu gibi virgül düşünülmeden işlem yapıldıktan sonra, sonuç virgüller hizasından virgülle ayrılır.

18:22Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

• Rasyonel sayılarla toplama işleminde kapalılık özelliği vardır.
• Rasyonel sayılarla toplama işleminde değişme özelliği vardır.
• Rasyonel sayılarla toplama işleminde birleşme özelliği vardır.
• Rasyonel sayılarla toplama işleminde etkisiz (birim) eleman sıfırdır.
• a/b rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b'dir.

Önemli: Rasyonel sayılarla toplama işleminde kapalılık, değişme ve birleşme özellikleri bulunur. Etkisiz eleman sıfırdır ve bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin zıttıdır.

19:58Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi

• Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapılırken paydalar eşit olmalıdır.
• Paydalar eşitse, paylar çıkarılır, payda aynı kalır.

21:27Tam Sayılı Kesirlerde Çıkarma ve Ondalık Kesirlerde Çıkarma İşlemleri

• Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilerek çıkarma işlemi yapılabilir.
• Ondalık kesirler çıkarılırken, virgüller ve aynı isimli basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır.
• Doğal sayılarda olduğu gibi virgül düşünülmeden işlem yapıldıktan sonra, sonuç virgüller hizasından virgülle ayrılır.

Önemli: Tam sayılı kesirlerde eksi işareti hem tam kısmı hem de kesir kısmını kapsar. Ondalık kesirlerde çıkarma işleminde basamaklar ve virgüller alt alta gelmelidir.

24:00Ondalık Sayılarda Çıkarma İşlemi

• Ondalık sayılarda çıkarma işlemi, virgül yokmuş gibi yapılır.
• Virgüllerin hizasına dikkat edilir.
• Elde edilen sonuca virgül sonradan eklenir.

24:49Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi

• Çarpma işleminde paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır.
• Tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.
• Negatif sayılar çarpılırken işaretler de çarpılır (eksi ile eksinin çarpımı artı olur).

Önemli: Çarpma işleminde paydalar eşitlenmez.

25:43Ondalık Sayılarda Çarpma İşlemi

• Çarpanların virgülü yokmuş gibi düşünülerek çarpma işlemi yapılır.
• Çarpanların ondalık kısımlarındaki basamak sayılarının toplamı kadar basamak, sağdan itibaren virgülle ayrılır.
• Eksik basamaklar varsa yerine sıfır yazılır.

Önemli: Virgülden sonraki basamak sayıları toplanarak, sonuçta sağdan sola doğru o kadar basamak virgülle ayrılır.

27:05Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri ve Tersi

• Rasyonel sayılarda çarpma işleminin kapalılık, değişme ve birleşme özelliği vardır.
• Rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
• Rasyonel sayılarda çarpma işleminde 1 birim elemandır.
• a/b rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a'dır (takla attırılır).
• Tam sayıların çarpma işlemine göre tersi, paydasına gizli 1 eklenerek bulunur.

Önemli: Çarpma işlemine göre tersi alınırken sayının işareti değişmez, sadece takla attırılır.

28:04Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi

• Bölme işleminde, bölünen (birinci rasyonel sayı) aynen yazılır.
• Bölen (ikinci rasyonel sayı) ters çevrilerek çarpılır.
• Tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilerek işlem yapılmalıdır.

29:10Ondalık Sayılarda Bölme İşlemi

• Ondalık kesirlerde bölme işlemi yapılırken, hem pay (bölünen) hem de payda (bölen) virgülden kurtarılacak şekilde 10'un uygun olan kuvvetiyle genişletilir.
• Virgül kaydırma yöntemiyle de yapılabilir: Her iki sayıda virgül aynı sayıda basamak kaydırılır. Eksik basamaklar sıfırla tamamlanır.

Önemli: Virgülden kurtarmak için her iki sayı da aynı 10'un kuvvetiyle çarpılır (10, 100, 1000 vb.).

31:14Birden Fazla İşlem Olduğu Durumlarda İşlem Önceliği

• Birden fazla işlem olduğu durumlarda işlem önceliği sırası şöyledir:
• 1. Üslü sayılar
• 2. Parantez içindeki işlemler
• 3. Çarpma veya bölme işlemleri (soldan sağa doğru)
• 4. Toplama veya çıkarma işlemleri (soldan sağa doğru).
• İşlem önceliğini hatırlamak için 'Çanakkale Boğazından Topçu Çıkarma' akılda tutulabilir (Çarpma, Bölme, Toplama, Çıkarma).

Önemli: Aynı önceliğe sahip işlemlerde (çarpma/bölme veya toplama/çıkarma) soldan sağa doğru sıra takip edilir.

36:00Basamak Basamak Denklem Çözümü

• Denklem çözümlerinde dıştan içe doğru basamak basamak ilerlenir.
• Her adımda bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa atılarak işlem yapılır.

39:00Rasyonel Sayılarla Problem Çözümü: Sıvı Hacmi

• Bir sürahinin aldığı toplam meyve suyu miktarı verilir.
• Bir bardağın aldığı meyve suyu miktarı verilir.
• Sürahideki meyve suyunun kaç bardak geldiğini bulmak için toplam hacim, bir bardağın hacmine bölünür.

39:50Rasyonel Sayılarla Problem Çözümü: Yüzey Alanı ve Karolar

• Bir yüzme havuzunun yüzey alanı verilir.
• Havuzun kaplanacağı karoların her birinin alanı verilir.
• Kaç tane karo gerektiğini bulmak için toplam yüzey alanı, bir karonun alanına bölünür.

40:28Rasyonel Sayılarla Problem Çözümü: Otel Fiyatları

• Büyükler için otel fiyatı ve çocuk için ödenen fiyatın büyük fiyatın belirli bir oranı olduğu bilgisi verilir.
• Çocuk fiyatını bulmak için büyük fiyat, verilen oranla çarpılır.
• Toplam ödenecek fiyatı bulmak için büyük ve çocuk sayıları ile fiyatlar çarpılıp toplanır.

41:54Rasyonel Sayılarla Problem Çözümü: İşçi Problemi

• Bir işi tek başına bitirme süreleri verilen iki kişinin, birlikte bir günde işin ne kadarını yapacağı sorulur.
• Her bir kişinin bir günde yaptığı iş miktarı (1/süre) toplanır.
• Paydalar eşitlenerek toplama işlemi yapılır.