00:05Permütasyon Konusuna Giriş
- Permütasyon, kombinasyon ve olasılık konularından genellikle bir soru gelmektedir.
- Permütasyon konusu, gerçek hayatla ilişkilendirilerek daha kolay anlaşılabilir.
01:00Permütasyon Tanımı ve Formülü
- Permütasyon (P(n,r)): n tane nesnenin r farklı dizilimi veya sıralamasıdır.
- Bir cümlede 'dizilim' veya 'sıralama' kelimeleri geçiyorsa permütasyon kullanılır.
Tahtadaki formüller
- P(n,r): n tane nesnenin r farklı dizilimi, sıralaması
- P(n,r) = n! / (n-r)!
Önemli: Dizilim ve sıralama kelimeleri permütasyonun anahtar kelimeleridir.
02:24Permütasyon Formül Uygulamaları
- P(7,2) = 7! / (7-2)! = 7! / 5! = 7 x 6 = 42
- P(9,3) = 9 x 8 x 7 (9'dan geriye doğru 3 defa açılır)
- P(5,5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120
- P(4,0) = 1 (Herhangi bir sayının 0'lı permütasyonu 1'dir)
- P(6,1) = 6 (6'dan geriye doğru 1 defa açılır)
- P(n,2) = n x (n-1) (n'den geriye doğru 2 defa açılır)
Tahtadaki formüller
- P(7,2) = 7! / 5! = 7 x 6 = 42
- P(9,3) = 9 x 8 x 7
- P(5,5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120
- P(4,0) = 1
- P(6,1) = 6
- P(n,2) = n x (n-1)
04:40Permütasyonda Problem Çözme Mantığı
- Birlikte olan ifadeler (yan yana, bir arada) bağlanır ve 1 kabul edilir, ancak kendi içlerindeki sıralamalarına dikkat edilir.
- N tane kişi düz bir sıraya N! şekilde sıralanır.
- V bağlacı geçiyorsa ifadeler çarpılır veya olay bitene kadar çarpma işlemi yapılır.
- Veya bağlacı geçiyorsa toplama işlemi yapılır.
Önemli: Problem sorularında 'birlikte', 'yan yana', 've' ve 'veya' bağlaçlarının anlamlarına dikkat edilmelidir.
09:00Örnek 1: Kişi Sıralaması
- 6 farklı kişi düz bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebilir? (Dizilim olduğu için permütasyon)
- Cevap: 6! = 720
Tahtadaki formüller
- 6! = 720
10:05Örnek 2: Kitap Sıralaması
- 3 farklı matematik, 2 farklı Türkçe kitabı düz bir rafa sıralanacaktır.
- a) Kaç farklı şekilde sıralanabilir? Toplam 5 kitap olduğu için 5! = 120 farklı şekilde sıralanır.
- b) Türkçe kitapları yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? Türkçe kitapları (2T) bir grup olarak kabul edilir (1 birim). Matematik kitapları (3M) 3 birimdir. Toplam 3M + 1 birim (2T) = 4 birim gibi düşünülür ve 4! şeklinde sıralanır. Ayrıca Türkçe kitapları kendi aralarında 2! şekilde sıralanabilir. Bu durumda 4! x 2! = 24 x 2 = 48 farklı şekilde sıralanır.
Tahtadaki formüller
- a) 5! = 120
- b) 4! x 2! = 24 x 2 = 48
Önemli: Yan yana olma şartı olan nesneler bir bütün olarak kabul edilip kendi içlerinde de sıralanır.
11:17Örnek 3: Kız ve Erkek Sıralaması
- 4 kız, 3 erkek düz bir sırada dizilecektir. Kızlar ve erkekler kendi içlerinde yan yana olacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanır?
- Kızlar (4K) bir grup, erkekler (3E) bir grup olarak kabul edilir. Bu iki grubun kendi aralarındaki sıralaması 2! şeklindedir.
- Kızlar kendi aralarında 4! şekilde, erkekler kendi aralarında 3! şekilde sıralanabilir.
- Cevap: 2! x 4! x 3!
Tahtadaki formüller
- 2! x 4! x 3!
Önemli: Farklı grupların kendi içlerinde yan yana olması durumunda, her grup bir birim olarak kabul edilip grupların kendi aralarındaki sıralaması ve her grubun kendi içindeki sıralaması çarpılır.
12:00Yan Yana Olmayan Durumlar
- Belirli iki kişinin yan yana olmaması durumlarında, tüm durumdan yan yana olma durumu çıkarılır.
- Tüm durum, 5 kişinin düz bir sıraya sıralanmasıdır (5!).
- Yan yana olma durumu, belirli iki kişinin bir kişi gibi kabul edilip sıralanması ve kendi içlerinde sıralanmasıdır (4! * 2!).
Tahtadaki formüller
- 2 * 24 * 6 = 288
- Tüm durum - yan yana durum
- 5! - (4! * 2!)
- 120 - (24 * 2)
- 120 - 48 = 72
Önemli: Yan yana olmama sorularında tüm durumdan yan yana olma durumunu çıkarmak, çözüm için kritik bir yaklaşımdır.
15:05Belirli Bir Kişinin Diğerinin Sağında Olması
- Ali'nin Berk'in sağında olması gibi belirli bir konum şartı olan durumlarda, toplam sıralama sayısının yarısı alınır.
- Çünkü her sıralamada Ali ya Berk'in sağında ya da solundadır.
- Toplam 5 kişinin sıralaması 5! = 120'dir.
Tahtadaki formüller
- 5! / 2
- 120 / 2 = 60
Önemli: Belirli iki kişinin birbirine göre konumlandığı (sağında/solunda) durumlarda, toplam sıralama sayısının yarısı doğru cevaptır.
17:30Belirli Bir Kişinin Diğerinin Hemen Sağında Olması
- Ali'nin Berk'in hemen sağında olması durumunda, Ali ve Berk bir bütün olarak kabul edilir ve yer değiştiremezler.
- Bu durumda, Ali ve Berk tek bir birim olarak sayılır ve diğer kişilerle birlikte sıralanır.
- 5 kişi arasında Ali ve Berk'in hemen sağında olması durumu, (BA) ve 3 kişi olarak düşünülür.
- Bu 4 birimin sıralanması 4! şeklindedir.
Tahtadaki formüller
- 4! = 24
Önemli: Hemen sağında/solunda olma şartı, o iki kişinin tek bir birim olarak kabul edilip kendi içlerinde yer değiştirmemesi gerektiğini gösterir.
18:30Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı Olmayan
- Verilen kümenin elemanları kullanılarak 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabileceği sorulduğunda, her basamak için kümedeki eleman sayısı kadar seçenek bulunur.
- Rakamların farklı olması şartı yoksa, her basamağa kümedeki tüm elemanlar gelebilir.
Tahtadaki formüller
- 4 * 4 * 4 = 64
19:32Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı Olan
- Rakamları farklı 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabileceği sorulduğunda, ilk basamağa kümedeki tüm elemanlar gelebilir.
- İkinci basamağa, ilk basamakta kullanılan eleman hariç kalan elemanlar gelebilir.
- Üçüncü basamağa ise ilk iki basamakta kullanılan elemanlar hariç kalan elemanlar gelebilir.
Tahtadaki formüller
- 4 * 3 * 2 = 24
20:55Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı ve Çift Sayı
- Rakamları farklı ve çift 3 basamaklı sayı yazma durumunda, önce çift olma şartı sağlanır (birler basamağına çift sayılar gelir).
- Ardından, rakamları farklı olma şartına göre diğer basamaklar doldurulur.
- Özel yol olarak, rakamları farklı toplam sayı adedinin, kümedeki çift sayıların oranına göre hesaplanması da mümkündür.
Tahtadaki formüller
- 3 * 2 * 2 = 12
- 4 * 3 * 2 * (2/4) = 12
Önemli: Çift/tek gibi özel şartlar varsa, öncelikle o şartın sağlandığı basamak doldurulmalı, sonra diğer basamaklara geçilmelidir.
23:00Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı ve Belirli Bir Sayıdan Büyük
- Rakamları farklı ve 200'den büyük 3 basamaklı sayı yazma durumunda, önce 200'den büyük olma şartı sağlanır (yüzler basamağına 2, 3, 4 gelebilir).
- Ardından, rakamları farklı olma şartına göre diğer basamaklar doldurulur.
Tahtadaki formüller
- 3 * 3 * 2 = 18
Önemli: Belirli bir sayıdan büyük olma şartı varsa, en büyük basamakta bu şartı sağlayan elemanlar öncelikli olarak değerlendirilmelidir.
24:00Sıfır İçeren Rakamlarla Sayı Oluşturma (Rakamları Farklı Değil)
- Kümede sıfır varsa, ilk basamağa sıfır gelemez.
- Rakamları farklı değilse, her basamağa kümedeki tüm rakamlar yazılabilir (ilk basamak hariç).
Tahtadaki formüller
- 4 x 5 x 5 = 100
Önemli: Sıfırın varlığı, ilk basamağa gelememesi nedeniyle farklı bir durum yaratır.
26:11Sıfır İçeren Rakamlarla Sayı Oluşturma (Rakamları Farklı)
- Rakamları farklı denildiğinde, kullanılan rakam bir daha kullanılamaz.
- İlk basamağa sıfır gelemez.
- Kalan basamaklara, kümede kalan ve daha önce kullanılmamış rakamlar yazılır.
Tahtadaki formüller
- 4 x 4 x 3 = 48
26:50Sıfır İçeren Rakamları Farklı Çift Sayılar Oluşturma
- Kümede sıfır varsa ve çift sayı isteniyorsa, sıfır durumu ayrı değerlendirilir.
- Son basamağa sıfır gelme durumu hesaplanır.
- Son basamağa sıfır dışındaki çift rakamlar gelme durumu hesaplanır.
- Her iki durumun sonuçları toplanır.
Tahtadaki formüller
- 1 x 4 x 3 = 12
- 2 x 3 x 3 = 18
- 12 + 18 = 30
Önemli: Sıfırın hem ilk basamağa gelememesi hem de çift sayı olma şartını sağlaması nedeniyle ayrı ayrı incelenmesi gerekir.
30:21Tekrarlı Permütasyon Kavramı
- Aynı veya özdeş kavramlar içeren sıralamalara tekrarlı permütasyon denir.
- Özdeş elemanların yer değiştirmesi farklı bir sıralama oluşturmaz.
- Tekrarlı permütasyonda, toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden elemanların faktöriyellerinin çarpımına bölünür.
Tahtadaki formüller
- n! / (a! * b! * c!)
Önemli: Tekrarlı permütasyon, özdeş elemanların olduğu durumlarda kullanılır ve bu elemanların kendi aralarındaki sıralamaları ihmal edilir.
31:54Tekrarlı Permütasyon Örnekleri (Sayı ve Kelime)
- Sayıdaki rakamlar yer değiştirilerek kaç farklı 7 basamaklı sayı yazılabilir? (1123444)
- Kelimenin harfleriyle kaç farklı 5 harfli kelime yazılabilir? (ARABA)
Tahtadaki formüller
- 7! / (2! * 3!) = 420
- 5! / 3! = 20
Önemli: Sayılar ve kelimeler için tekrarlı permütasyon formülü aynı şekilde uygulanır.
33:18Sıfır İçeren Tekrarlı Permütasyon
- Sıfır içeren sayılarda tekrarlı permütasyon yaparken, sıfırın ilk basamağa gelemeyeceği dikkate alınır.
- Tüm durumdan, sıfırla başlayan durumlar çıkarılarak doğru sonuç bulunur.
- Alternatif olarak, sıfırın olmadığı basamakların oranıyla da hesaplama yapılabilir.
Tahtadaki formüller
- (7! / (2! * 2! * 3!)) - (6! / (2! * 3!)) = 210 - 60 = 150
- (7! / (2! * 2! * 3!)) * (5/7) = 150
Önemli: Sıfırın ilk basamağa gelememe kuralı, tekrarlı permütasyon hesaplamalarında ek bir adım gerektirir. Oransal yöntem, bu tür durumlar için daha hızlı bir çözüm sunabilir.
36:00Bilişim Kelimesiyle Kelime Oluşturma
- Bilişim kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimeler oluşturulur.
- Kaç tanesi B ile başlar: B harfi sabitlenir, geriye kalan 'ilişim' kelimesinin harfleri permüte edilir.
- Tekrarlı harfler dikkate alınarak permütasyon hesaplanır.
- Kaç tanesi B ile başlar ve Ş ile biter: B ve Ş harfleri sabitlenir, geriye kalan 'ilim' kelimesinin harfleri permüte edilir.
- Tekrarlı harfler dikkate alınarak permütasyon hesaplanır.
Tahtadaki formüller
- B/İLİŞİM = 6!/3! = 6.5.4.3!/3! = 120
- B/İLİM/Ş = 5!/3! = 5.4.3!/3! = 20
37:50Madeni Para Atma Problemleri
- Beş madeni para havaya atıldığında, 3 yazı ve 2 tura gelme durumları hesaplanır.
- Bu durum, tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür.
- Toplam 5 eleman (3Y, 2T) olduğu için 5 faktöriyel alınır.
- Tekrarlayan elemanlar (3Y, 2T) için faktöriyel bölme işlemi yapılır.
Tahtadaki formüller
- Y Y Y T T = 5! / (3! * 2!) = (5.4.3!) / (3!.2) = 10
Önemli: Olasılık konularına altyapı oluşturur.
39:37En Kısa Yol Problemleri (Kafes Yolu)
- Bir kafes şeklinde verilen haritadan A noktasından B noktasına en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebileceği hesaplanır.
- Yatay ve dikey hareketler harflerle (örneğin D: Doğu, G: Güney) temsil edilir.
- Herhangi bir en kısa yolun harf dizilimi incelendiğinde, belirli sayıda yatay ve dikey hareket olduğu görülür.
- Bu durum, tekrarlı permütasyon formülüyle çözülür.
- Toplam hareket sayısı faktöriyeli, yatay ve dikey hareket sayılarının faktöriyellerine bölünür.
- Pratik yol: Yatay ve dikey yol sayılarının toplamının faktöriyeli, yatay yol sayısı faktöriyeli çarpı dikey yol sayısı faktöriyeline bölünür.
Tahtadaki formüller
- Toplam yol = 7! / (3! * 4!) = (7.6.5.4!) / (6.4!) = 35
- Özel yolu: (3+4)! / (3! * 4!) = 7! / (3! * 4!) = 35
43:14Peynirli Labirent Yol Problemi
- Bir kedinin labirentte sol alt köşeden başlayıp sağ üst köşedeki çıkışa ulaşması, peynirin bulunduğu yoldan geçme şartıyla hesaplanır.
- Peynirin bulunduğu nokta bir ara durak (B noktası) olarak belirlenir.
- A noktasından B noktasına ve B noktasından C noktasına giden yollar ayrı ayrı hesaplanır.
- A'dan B'ye giden yolların sayısı, yatay ve dikey hareketlerin tekrarlı permütasyonuyla bulunur.
- B'den C'ye giden yolların sayısı da aynı şekilde hesaplanır.
- Toplam yol sayısı, A'dan B'ye ve B'den C'ye giden yol sayılarının çarpımıyla bulunur.
Tahtadaki formüller
- A -> B: 3! / (2! * 1!) = 3
- B -> C: 2! / (1! * 1!) = 2
- Toplam = 3 * 2 = 6
Önemli: Olay bitene kadar çarpma kuralı uygulanır.
45:57Basamaklı Oyuncak Yol Problemi
- Bir çocuğun dört basamaklı bir oyuncağın en üst basamağından başlayıp gri minderlerden birine ulaşması hesaplanır.
- Çocuk, bulunduğu küple ortak ayrıta sahip olan bir basamak aşağıdaki küplere zıplayabilir.
- Her bir basamakta çocuğun kaç farklı seçeneği olduğu belirlenir.
- Toplam farklı yol sayısı, her adımda sahip olunan seçeneklerin çarpımıyla bulunur.
Tahtadaki formüller
- 2 * 2 * 2 * 2 = 16
Önemli: Her adımda iki seçeneği olduğu için 2'nin üssü olarak hesaplanır.
48:00Farklı Bakış Açısıyla Yol Soruları
- Yol sorularında her adımda iki olası durum varsa, toplam durum sayısı 2'nin kuvveti olarak hesaplanır.
- Örnekte, her adımda 2 seçenek olduğu için ve 4 adımda mindere ulaşıldığı için toplam 16 durum bulunur.
Tahtadaki formüller
- 2 . 2 . 2 . 2 = 16
48:32Permütasyon Konusunun Tamamlanması
- Permütasyon konusu tamamlanmıştır.
- Soru kökünde 'dizilim' veya 'sıralama' ifadeleri varsa permütasyon kullanılır.
- Permütasyon, faktöriyelsel ifadelerle çözülür.
Önemli: Dizilim ve sıralama kelimeleri permütasyonu işaret eder.
49:00Permütasyon Ödevi
- İlk olarak konu tekrarı yapılmalıdır.
- Taktiklerle Permütasyon-Kombinasyon-Olasılık kitabından sorular çözülmelidir.
- Soru bankasındaki ilgili testler çözülerek en az 100 soru hedeflenmelidir.
- Bu konuda önemli olan, sorunun ne istediğini doğru anlamaktır.
Önemli: Konu tekrarı, taktik kitap ve soru bankası testleri ile pratik yapmak önemlidir.
50:14Bir Sonraki Ders: Kombinasyon
- Bir sonraki derste kombinasyon konusuna geçilecektir.