Matematik · KPSS

Permütasyon Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Yargı Pluskaynak 50 dk29 bölüm

Kanıtlı Özetdakika damgalı
Kaynağı aç Havuzda

Bu özetle Meşk yap. Hoca yalnız bu özetin içinden soruyor, sen konuşarak cevaplıyorsun. Örnek dersi dinle

Üye ol, meşke başla

Bu özetten ne eksik?

Üretecek hakkın yoksa iste — hakkı olan biri üretince herkese açılır ve sana haber gelir.

Zaman damgalarına tıklayınca video o andan devam eder. Video oynarken de üstteki şerit hangi bölümde olduğunu yazar — tıklayınca özetin o yerine iner.

00:05Permütasyon Konusuna Giriş

  • Permütasyon, kombinasyon ve olasılık konularından genellikle bir soru gelmektedir.
  • Permütasyon konusu, gerçek hayatla ilişkilendirilerek daha kolay anlaşılabilir.

01:00Permütasyon Tanımı ve Formülü

  • Permütasyon (P(n,r)): n tane nesnenin r farklı dizilimi veya sıralamasıdır.
  • Bir cümlede 'dizilim' veya 'sıralama' kelimeleri geçiyorsa permütasyon kullanılır.

Tahtadaki formüller

  • P(n,r): n tane nesnenin r farklı dizilimi, sıralaması
  • P(n,r)=n!/(n−r)!P(n,r) = n! / (n-r)!

Önemli: Dizilim ve sıralama kelimeleri permütasyonun anahtar kelimeleridir.

02:24Permütasyon Formül Uygulamaları

  • P(7,2) = 7! / (7-2)! = 7! / 5! = 7 x 6 = 42
  • P(9,3) = 9 x 8 x 7 (9'dan geriye doğru 3 defa açılır)
  • P(5,5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120
  • P(4,0) = 1 (Herhangi bir sayının 0'lı permütasyonu 1'dir)
  • P(6,1) = 6 (6'dan geriye doğru 1 defa açılır)
  • P(n,2) = n x (n-1) (n'den geriye doğru 2 defa açılır)

Tahtadaki formüller

  • P(7,2)=7!/5!=7x6=42P(7,2) = 7! / 5! = 7 x 6 = 42
  • P(9,3)=9x8x7P(9,3) = 9 x 8 x 7
  • P(5,5)=5x4x3x2x1=5!=120P(5,5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120
  • P(4,0)=1P(4,0) = 1
  • P(6,1)=6P(6,1) = 6
  • P(n,2)=nx(n−1)P(n,2) = n x (n-1)

04:40Permütasyonda Problem Çözme Mantığı

  • Birlikte olan ifadeler (yan yana, bir arada) bağlanır ve 1 kabul edilir, ancak kendi içlerindeki sıralamalarına dikkat edilir.
  • N tane kişi düz bir sıraya N! şekilde sıralanır.
  • V bağlacı geçiyorsa ifadeler çarpılır veya olay bitene kadar çarpma işlemi yapılır.
  • Veya bağlacı geçiyorsa toplama işlemi yapılır.

Önemli: Problem sorularında 'birlikte', 'yan yana', 've' ve 'veya' bağlaçlarının anlamlarına dikkat edilmelidir.

09:00Örnek 1: Kişi Sıralaması

  • 6 farklı kişi düz bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebilir? (Dizilim olduğu için permütasyon)
  • Cevap: 6! = 720

Tahtadaki formüller

  • 6!=7206! = 720

10:05Örnek 2: Kitap Sıralaması

  • 3 farklı matematik, 2 farklı Türkçe kitabı düz bir rafa sıralanacaktır.
  • a) Kaç farklı şekilde sıralanabilir? Toplam 5 kitap olduğu için 5! = 120 farklı şekilde sıralanır.
  • b) Türkçe kitapları yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? Türkçe kitapları (2T) bir grup olarak kabul edilir (1 birim). Matematik kitapları (3M) 3 birimdir. Toplam 3M + 1 birim (2T) = 4 birim gibi düşünülür ve 4! şeklinde sıralanır. Ayrıca Türkçe kitapları kendi aralarında 2! şekilde sıralanabilir. Bu durumda 4! x 2! = 24 x 2 = 48 farklı şekilde sıralanır.

Tahtadaki formüller

  • a)5!=120a) 5! = 120
  • b)4!x2!=24x2=48b) 4! x 2! = 24 x 2 = 48

Önemli: Yan yana olma şartı olan nesneler bir bütün olarak kabul edilip kendi içlerinde de sıralanır.

11:17Örnek 3: Kız ve Erkek Sıralaması

  • 4 kız, 3 erkek düz bir sırada dizilecektir. Kızlar ve erkekler kendi içlerinde yan yana olacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanır?
  • Kızlar (4K) bir grup, erkekler (3E) bir grup olarak kabul edilir. Bu iki grubun kendi aralarındaki sıralaması 2! şeklindedir.
  • Kızlar kendi aralarında 4! şekilde, erkekler kendi aralarında 3! şekilde sıralanabilir.
  • Cevap: 2! x 4! x 3!

Tahtadaki formüller

  • 2! x 4! x 3!

Önemli: Farklı grupların kendi içlerinde yan yana olması durumunda, her grup bir birim olarak kabul edilip grupların kendi aralarındaki sıralaması ve her grubun kendi içindeki sıralaması çarpılır.

12:00Yan Yana Olmayan Durumlar

  • Belirli iki kişinin yan yana olmaması durumlarında, tüm durumdan yan yana olma durumu çıkarılır.
  • Tüm durum, 5 kişinin düz bir sıraya sıralanmasıdır (5!).
  • Yan yana olma durumu, belirli iki kişinin bir kişi gibi kabul edilip sıralanması ve kendi içlerinde sıralanmasıdır (4! * 2!).

Tahtadaki formüller

  • 2∗24∗6=2882 * 24 * 6 = 288
  • Tüm durum - yan yana durum
  • 5! - (4! * 2!)
  • 120 - (24 * 2)
  • 120−48=72120 - 48 = 72

Önemli: Yan yana olmama sorularında tüm durumdan yan yana olma durumunu çıkarmak, çözüm için kritik bir yaklaşımdır.

15:05Belirli Bir Kişinin Diğerinin Sağında Olması

  • Ali'nin Berk'in sağında olması gibi belirli bir konum şartı olan durumlarda, toplam sıralama sayısının yarısı alınır.
  • Çünkü her sıralamada Ali ya Berk'in sağında ya da solundadır.
  • Toplam 5 kişinin sıralaması 5! = 120'dir.

Tahtadaki formüller

  • 5! / 2
  • 120/2=60120 / 2 = 60

Önemli: Belirli iki kişinin birbirine göre konumlandığı (sağında/solunda) durumlarda, toplam sıralama sayısının yarısı doğru cevaptır.

17:30Belirli Bir Kişinin Diğerinin Hemen Sağında Olması

  • Ali'nin Berk'in hemen sağında olması durumunda, Ali ve Berk bir bütün olarak kabul edilir ve yer değiştiremezler.
  • Bu durumda, Ali ve Berk tek bir birim olarak sayılır ve diğer kişilerle birlikte sıralanır.
  • 5 kişi arasında Ali ve Berk'in hemen sağında olması durumu, (BA) ve 3 kişi olarak düşünülür.
  • Bu 4 birimin sıralanması 4! şeklindedir.

Tahtadaki formüller

  • 4!=244! = 24

Önemli: Hemen sağında/solunda olma şartı, o iki kişinin tek bir birim olarak kabul edilip kendi içlerinde yer değiştirmemesi gerektiğini gösterir.

18:30Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı Olmayan

  • Verilen kümenin elemanları kullanılarak 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabileceği sorulduğunda, her basamak için kümedeki eleman sayısı kadar seçenek bulunur.
  • Rakamların farklı olması şartı yoksa, her basamağa kümedeki tüm elemanlar gelebilir.

Tahtadaki formüller

  • 4∗4∗4=644 * 4 * 4 = 64

19:32Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı Olan

  • Rakamları farklı 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabileceği sorulduğunda, ilk basamağa kümedeki tüm elemanlar gelebilir.
  • İkinci basamağa, ilk basamakta kullanılan eleman hariç kalan elemanlar gelebilir.
  • Üçüncü basamağa ise ilk iki basamakta kullanılan elemanlar hariç kalan elemanlar gelebilir.

Tahtadaki formüller

  • 4∗3∗2=244 * 3 * 2 = 24

20:55Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı ve Çift Sayı

  • Rakamları farklı ve çift 3 basamaklı sayı yazma durumunda, önce çift olma şartı sağlanır (birler basamağına çift sayılar gelir).
  • Ardından, rakamları farklı olma şartına göre diğer basamaklar doldurulur.
  • Özel yol olarak, rakamları farklı toplam sayı adedinin, kümedeki çift sayıların oranına göre hesaplanması da mümkündür.

Tahtadaki formüller

  • 3∗2∗2=123 * 2 * 2 = 12
  • 4∗3∗2∗(2/4)=124 * 3 * 2 * (2/4) = 12

Önemli: Çift/tek gibi özel şartlar varsa, öncelikle o şartın sağlandığı basamak doldurulmalı, sonra diğer basamaklara geçilmelidir.

23:00Sayı Yazma Problemleri - Rakamları Farklı ve Belirli Bir Sayıdan Büyük

  • Rakamları farklı ve 200'den büyük 3 basamaklı sayı yazma durumunda, önce 200'den büyük olma şartı sağlanır (yüzler basamağına 2, 3, 4 gelebilir).
  • Ardından, rakamları farklı olma şartına göre diğer basamaklar doldurulur.

Tahtadaki formüller

  • 3∗3∗2=183 * 3 * 2 = 18

Önemli: Belirli bir sayıdan büyük olma şartı varsa, en büyük basamakta bu şartı sağlayan elemanlar öncelikli olarak değerlendirilmelidir.

24:00Sıfır İçeren Rakamlarla Sayı Oluşturma (Rakamları Farklı Değil)

  • Kümede sıfır varsa, ilk basamağa sıfır gelemez.
  • Rakamları farklı değilse, her basamağa kümedeki tüm rakamlar yazılabilir (ilk basamak hariç).

Tahtadaki formüller

  • 4x5x5=1004 x 5 x 5 = 100

Önemli: Sıfırın varlığı, ilk basamağa gelememesi nedeniyle farklı bir durum yaratır.

26:11Sıfır İçeren Rakamlarla Sayı Oluşturma (Rakamları Farklı)

  • Rakamları farklı denildiğinde, kullanılan rakam bir daha kullanılamaz.
  • İlk basamağa sıfır gelemez.
  • Kalan basamaklara, kümede kalan ve daha önce kullanılmamış rakamlar yazılır.

Tahtadaki formüller

  • 4x4x3=484 x 4 x 3 = 48

26:50Sıfır İçeren Rakamları Farklı Çift Sayılar Oluşturma

  • Kümede sıfır varsa ve çift sayı isteniyorsa, sıfır durumu ayrı değerlendirilir.
  • Son basamağa sıfır gelme durumu hesaplanır.
  • Son basamağa sıfır dışındaki çift rakamlar gelme durumu hesaplanır.
  • Her iki durumun sonuçları toplanır.

Tahtadaki formüller

  • 1x4x3=121 x 4 x 3 = 12
  • 2x3x3=182 x 3 x 3 = 18
  • 12+18=3012 + 18 = 30

Önemli: Sıfırın hem ilk basamağa gelememesi hem de çift sayı olma şartını sağlaması nedeniyle ayrı ayrı incelenmesi gerekir.

30:21Tekrarlı Permütasyon Kavramı

  • Aynı veya özdeş kavramlar içeren sıralamalara tekrarlı permütasyon denir.
  • Özdeş elemanların yer değiştirmesi farklı bir sıralama oluşturmaz.
  • Tekrarlı permütasyonda, toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden elemanların faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Tahtadaki formüller

  • n! / (a! * b! * c!)

Önemli: Tekrarlı permütasyon, özdeş elemanların olduğu durumlarda kullanılır ve bu elemanların kendi aralarındaki sıralamaları ihmal edilir.

31:54Tekrarlı Permütasyon Örnekleri (Sayı ve Kelime)

  • Sayıdaki rakamlar yer değiştirilerek kaç farklı 7 basamaklı sayı yazılabilir? (1123444)
  • Kelimenin harfleriyle kaç farklı 5 harfli kelime yazılabilir? (ARABA)

Tahtadaki formüller

  • 7!/(2!∗3!)=4207! / (2! * 3!) = 420
  • 5!/3!=205! / 3! = 20

Önemli: Sayılar ve kelimeler için tekrarlı permütasyon formülü aynı şekilde uygulanır.

33:18Sıfır İçeren Tekrarlı Permütasyon

  • Sıfır içeren sayılarda tekrarlı permütasyon yaparken, sıfırın ilk basamağa gelemeyeceği dikkate alınır.
  • Tüm durumdan, sıfırla başlayan durumlar çıkarılarak doğru sonuç bulunur.
  • Alternatif olarak, sıfırın olmadığı basamakların oranıyla da hesaplama yapılabilir.

Tahtadaki formüller

  • (7!/(2!∗2!∗3!))−(6!/(2!∗3!))=210−60=150(7! / (2! * 2! * 3!)) - (6! / (2! * 3!)) = 210 - 60 = 150
  • (7!/(2!∗2!∗3!))∗(5/7)=150(7! / (2! * 2! * 3!)) * (5/7) = 150

Önemli: Sıfırın ilk basamağa gelememe kuralı, tekrarlı permütasyon hesaplamalarında ek bir adım gerektirir. Oransal yöntem, bu tür durumlar için daha hızlı bir çözüm sunabilir.

36:00Bilişim Kelimesiyle Kelime Oluşturma

  • Bilişim kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimeler oluşturulur.
  • Kaç tanesi B ile başlar: B harfi sabitlenir, geriye kalan 'ilişim' kelimesinin harfleri permüte edilir.
  • Tekrarlı harfler dikkate alınarak permütasyon hesaplanır.
  • Kaç tanesi B ile başlar ve Ş ile biter: B ve Ş harfleri sabitlenir, geriye kalan 'ilim' kelimesinin harfleri permüte edilir.
  • Tekrarlı harfler dikkate alınarak permütasyon hesaplanır.

Tahtadaki formüller

  • B/İLİŞİM =6!/3!=6.5.4.3!/3!=120= 6!/3! = 6.5.4.3!/3! = 120
  • B/İLİM/Ş =5!/3!=5.4.3!/3!=20= 5!/3! = 5.4.3!/3! = 20

37:50Madeni Para Atma Problemleri

  • Beş madeni para havaya atıldığında, 3 yazı ve 2 tura gelme durumları hesaplanır.
  • Bu durum, tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür.
  • Toplam 5 eleman (3Y, 2T) olduğu için 5 faktöriyel alınır.
  • Tekrarlayan elemanlar (3Y, 2T) için faktöriyel bölme işlemi yapılır.

Tahtadaki formüller

  • Y Y Y T T =5!/(3!∗2!)=(5.4.3!)/(3!.2)=10= 5! / (3! * 2!) = (5.4.3!) / (3!.2) = 10

Önemli: Olasılık konularına altyapı oluşturur.

39:37En Kısa Yol Problemleri (Kafes Yolu)

  • Bir kafes şeklinde verilen haritadan A noktasından B noktasına en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebileceği hesaplanır.
  • Yatay ve dikey hareketler harflerle (örneğin D: Doğu, G: Güney) temsil edilir.
  • Herhangi bir en kısa yolun harf dizilimi incelendiğinde, belirli sayıda yatay ve dikey hareket olduğu görülür.
  • Bu durum, tekrarlı permütasyon formülüyle çözülür.
  • Toplam hareket sayısı faktöriyeli, yatay ve dikey hareket sayılarının faktöriyellerine bölünür.
  • Pratik yol: Yatay ve dikey yol sayılarının toplamının faktöriyeli, yatay yol sayısı faktöriyeli çarpı dikey yol sayısı faktöriyeline bölünür.

Tahtadaki formüller

  • Toplam yol =7!/(3!∗4!)=(7.6.5.4!)/(6.4!)=35= 7! / (3! * 4!) = (7.6.5.4!) / (6.4!) = 35
  • Özel yolu: (3+4)!/(3!∗4!)=7!/(3!∗4!)=35(3+4)! / (3! * 4!) = 7! / (3! * 4!) = 35

43:14Peynirli Labirent Yol Problemi

  • Bir kedinin labirentte sol alt köşeden başlayıp sağ üst köşedeki çıkışa ulaşması, peynirin bulunduğu yoldan geçme şartıyla hesaplanır.
  • Peynirin bulunduğu nokta bir ara durak (B noktası) olarak belirlenir.
  • A noktasından B noktasına ve B noktasından C noktasına giden yollar ayrı ayrı hesaplanır.
  • A'dan B'ye giden yolların sayısı, yatay ve dikey hareketlerin tekrarlı permütasyonuyla bulunur.
  • B'den C'ye giden yolların sayısı da aynı şekilde hesaplanır.
  • Toplam yol sayısı, A'dan B'ye ve B'den C'ye giden yol sayılarının çarpımıyla bulunur.

Tahtadaki formüller

  • A -> B: 3!/(2!∗1!)=33! / (2! * 1!) = 3
  • B -> C: 2!/(1!∗1!)=22! / (1! * 1!) = 2
  • Toplam =3∗2=6= 3 * 2 = 6

Önemli: Olay bitene kadar çarpma kuralı uygulanır.

45:57Basamaklı Oyuncak Yol Problemi

  • Bir çocuğun dört basamaklı bir oyuncağın en üst basamağından başlayıp gri minderlerden birine ulaşması hesaplanır.
  • Çocuk, bulunduğu küple ortak ayrıta sahip olan bir basamak aşağıdaki küplere zıplayabilir.
  • Her bir basamakta çocuğun kaç farklı seçeneği olduğu belirlenir.
  • Toplam farklı yol sayısı, her adımda sahip olunan seçeneklerin çarpımıyla bulunur.

Tahtadaki formüller

  • 2∗2∗2∗2=162 * 2 * 2 * 2 = 16

Önemli: Her adımda iki seçeneği olduğu için 2'nin üssü olarak hesaplanır.

48:00Farklı Bakış Açısıyla Yol Soruları

  • Yol sorularında her adımda iki olası durum varsa, toplam durum sayısı 2'nin kuvveti olarak hesaplanır.
  • Örnekte, her adımda 2 seçenek olduğu için ve 4 adımda mindere ulaşıldığı için toplam 16 durum bulunur.

Tahtadaki formüller

  • 2.2.2.2=162 . 2 . 2 . 2 = 16

48:32Permütasyon Konusunun Tamamlanması

  • Permütasyon konusu tamamlanmıştır.
  • Soru kökünde 'dizilim' veya 'sıralama' ifadeleri varsa permütasyon kullanılır.
  • Permütasyon, faktöriyelsel ifadelerle çözülür.

Önemli: Dizilim ve sıralama kelimeleri permütasyonu işaret eder.

49:00Permütasyon Ödevi

  • İlk olarak konu tekrarı yapılmalıdır.
  • Taktiklerle Permütasyon-Kombinasyon-Olasılık kitabından sorular çözülmelidir.
  • Soru bankasındaki ilgili testler çözülerek en az 100 soru hedeflenmelidir.
  • Bu konuda önemli olan, sorunun ne istediğini doğru anlamaktır.

Önemli: Konu tekrarı, taktik kitap ve soru bankası testleri ile pratik yapmak önemlidir.

50:14Bir Sonraki Ders: Kombinasyon

  • Bir sonraki derste kombinasyon konusuna geçilecektir.

Matematik dersindeki diğer konu özetleri

Matematik özetlerinin tümü →

Kendi ders videondan böyle bir özet çıkar

Bağlantıyı yapıştır; zaman damgalı konu özetini, akıl kartlarını ve o konudan soru bankasını çıkaralım.

Akıllı Özetleyici'yi aç →