00:05Giriş ve Rasyonel Sayıların Tanımı
- Rasyonel sayılar sınavda kesinlikle iki soru olarak çıkmaktadır.
- Rasyonel sayılar a/b şeklinde ifade edilen sayılardır, burada a ve b tam sayı olmalı ve b sıfırdan farklı olmalıdır.
- Paydanın sıfır olması durumunda kesir tanımsız olur.
- 0/7 = 0, 7/0 = tanımsızdır.
Tahtadaki formüller
- a/b (b ze. Now, let's move to the next question. The question is, x-7 is a simple fraction. How many different natural number values of x are there? Remember, a simple fraction is when the numerator is smaller than the denominator in absolute value. So, we have |x-7| < 7. This means -7 < x-7 < 7. Adding 7 to all parts of the inequality, we get 0 < x < 14. The natural numbers are 1, 2, 3, ..., 13. So, there are 13 such values. Let's move on to the next topic: operations with rational numbers. First, we have multiplication. When multiplying fractions, you multiply the numerators together and the denominators together. For example, (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d). Next, we have division. When dividing fractions, you keep the first fraction as it is and multiply it by the reciprocal of the second fraction. For example, (a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d) / (b*c). There are different ways to write division, but the principle remains the same. When you have a fraction divided by another fraction, the top fraction is the first one, and the bottom one is the second. If you have a number divided by a fraction, the number is the first fraction (with an implicit denominator of 1), and the fraction is the second. If you have a fraction divided by a number, the fraction is the first, and the number is the second (with an implicit denominator of 1). Let's talk about the order of operations. The order is: 1. Parentheses, 2. Exponents, 3. Multiplication and Division (from left to right), 4. Addition and Subtraction (from left to right). We often use the mnemonic PEMDAS or BODMAS. I like to say,
- which means we do multiplication, division, addition, and subtraction in that order. Let's look at an example to find the value of x that makes an expression undefined. If we have the expression (5-x)/(x+2), to make it undefined, the denominator must be zero. So, x+2 = 0, which means x = -2. This is the only value that makes this expression undefined. Now, let's consider another example: 1 / (1 - 1/(x-2)). We need to find the values of x that make this expression undefined. An expression is undefined if any denominator is zero. So, we have two denominators to consider. First, the innermost denominator: x-2. If x-2 = 0, then x = 2. This is one value that makes the expression undefined. Second, the main denominator: 1 - 1/(x-2). If this whole expression is zero, then 1 - 1/(x-2) = 0. This means 1 = 1/(x-2). Cross-multiplying, we get x-2 = 1, so x = 3. Therefore, the values of x that make the expression undefined are 2 and 3. The sum of these values is 2 + 3 = 5. Let's consider another question. We have (x-7)/7. How many different natural number values of x are there that make this a proper fraction? A proper fraction is when the absolute value of the numerator is less than the absolute value of the denominator. So, |x-7| < 7. This means -7 < x-7 < 7. Adding 7 to all parts of the inequality, we get 0 < x < 14. The natural numbers are 1, 2, 3, ..., 13. So, there are 13 such values. Let's continue.
- onemli
Önemli: Rasyonel sayılardan kesinlikle iki soru gelmektedir. Biri işlemsel, diğeri ondalık sayılarla ilgili.
01:47Kesir Çeşitleri
- Basit kesir: Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlerdir.
- Bileşik kesir: Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesirlerdir.
- Tam sayılı kesir: Bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamı şeklinde yazılan kesirlerdir. Negatif tam sayılı kesirlerde parantez kullanmak işlem hatasını önler.
- Sabit kesir: Değişkenin önündeki katsayıların oranları, sabit terimlerin oranlarına eşit olan kesirdir. Bu durumda kesrin değeri x'e bağlı olmaz, sadeleşebilir bir sayı çıkar.
Tahtadaki formüller
- a/b (a<b)
- a/b (a>=b)
- a tam b/c = a + b/c = (a*c + b)/c
- -a tam b/c = -(a + b/c) = -(a*c + b)/c
- (ax+b)/(cx+d) = a/c = b/d = k (sabit kesir)
- 2x-k / (-6x+3) = 2/(-6) = -k/3
- (a/b)^-x = (b/a)^x
- 2^-1 = 1/2
- (3/2)^-2 = (2/3)^2 = 4/9
Önemli: Paydanın sıfır olması kesri tanımsız yapar. Tam sayılı kesirlerde negatif işaretin hem tam sayıya hem de kesre ait olduğunu unutmamak için parantez kullanmak önemlidir.
06:40Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
- Toplama-Çıkarma: Toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken paydalar eşitlenmelidir. Ortak payda bulunur ve paylar toplanır/çıkarılır.
- Çarpma: Paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.
- Bölme: Birinci kesir aynen durur, ikinci kesir ters çevrilerek çarpım durumuna getirilir.
- İşlem Önceliği: Varsa parantez içi, sonra çarpma/bölme, en son toplama/çıkarma yapılır.
Tahtadaki formüller
- a/b + c/d = (ad+bc)/bd
- 1/3 + 2/7 - 1/2 = (14+12-21)/42 = 5/42
- (a/b)*(c/d) = ac/bd
- (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) = ad/bc
- x+2 = 0 => x = -2 (tanımsız yapan değer)
- 1 / (1 - 1/(x-2)) kesrini tanımsız yapan x değerleri: x-2=0 => x=2; 1 - 1/(x-2)=0 => 1=1/(x-2) => x-2=1 => x=3. Toplam: 2+3=5.
Önemli: Rasyonel sayılarda işlem hatası yapmamak için payda eşitleme ve işlem önceliği kurallarına dikkat edilmelidir. Özellikle bölme işleminde ikinci kesrin ters çevrildiği ve tam sayılı kesirlerde negatif işaretin dağılımı önemlidir. Kesri tanımsız yapan değerler, paydaları sıfır yapan değerlerdir.
12:00Kesri Tanımsız Yapan Değerler ve Basit Kesirler
- Bir kesrin tanımsız olması için paydasının sıfır olması gerekir.
- Verilen bir kesri basit kesir yapan doğal sayı değerlerini bulmak için payın mutlak değerinin paydadan küçük olması gerekir.
Tahtadaki formüller
- 1 / (x-2) = 0
- x-2 = 1
- x = 3
- (x-2) / 7
- x-2 = 6
- x = 8
- x-2 = -6
- x = -4
Önemli: Kesrin tanımsız olması için payda sıfır olmalı, basit kesir olması için payın mutlak değeri paydadan küçük olmalı.
14:50Rasyonel Sayılarda İşlem Önceliği ve Tam Sayılı Kesirler
- Rasyonel sayılarda işlem yaparken öncelik sırası çarpma/bölme, sonra toplama/çıkarma şeklindedir.
- Tam sayılı kesirlerde işlem yaparken tam kısmı kesir kısmından ayırarak veya bileşik kesre çevirerek işlem yapılabilir.
Tahtadaki formüller
- (1/3 - 1/2) / (1/4 + 1/3)
- (2-3)/6 / (3+4)/12
- (-1/6) / (7/12)
- -1/6 * 12/7 = -2/7
- 2(1/3) - 1(2/5) / 4(1/2) + 1(1/3)
- 7/3 - 7/5 / 9/2 + 4/3
- (35-21)/15 / (27+8)/6
- 14/15 / 35/6
- 14/15 * 6/35 = 4/25
Önemli: İşlem önceliğine dikkat edilmeli. Tam sayılı kesirlerde büyük sayılar varsa tam kısımları kendi arasında, kesir kısımlarını kendi arasında toplayıp çıkarmak işlemi kolaylaştırır.
18:49Parantez Açma ve Paydaları Eşitleme
- Paydalar çok büyük olduğunda veya karmaşık ifadelerde parantezleri açarak işlem yapmak daha kolaydır.
- Eksi işaretini dağıtırken işaretlere dikkat edilmelidir.
- Paydaları aynı olan kesirler kendi aralarında toplanıp çıkarılarak işlem basitleştirilir.
Tahtadaki formüller
- 1453(7/5) - 1451(2/5) / 1907(7/3) - 1905(1/3)
- 2 + (7-2)/5 / 2 + (7-1)/3
- 2 + 1 / 2 + 2 = 3/4
- 8/3 - 1/2 + 5/11 - (1/2 - 4/3 - 6/11)
- 8/3 - 1/2 + 5/11 - 1/2 + 4/3 + 6/11
- (8+4)/3 + (-1-1)/2 + (5+6)/11
- 12/3 + (-2)/2 + 11/11
- 4 - 1 + 1 = 4
Önemli: Parantez dağıtılırken işaret hatalarından kaçınılmalı. Paydası aynı olan kesirleri gruplayarak işlem yapmak zaman kazandırır.
20:32Merdivenli İşlemler ve Bilinmeyenli Denklemler
- Merdivenli işlemlerde en alttan başlanarak veya bilinmeyen varsa dışarıdan içeriye doğru işlem yapılır.
- Bilinmeyenli merdivenli işlemlerde, sonucu bilinen kısımdan başlayarak adım adım bilinmeyene ulaşılır.
Tahtadaki formüller
- 1 + 1 / (1 - 1 / (1 + 1/2)) : 3
- 1 + 1 / (1 - 1 / (3/2)) : 3
- 1 + 1 / (1 - 2/3) : 3
- 1 + 1 / (1/3) : 3
- 1 + 3 : 3
- 1 + 1 = 2
- 8 / (3 + 4 / (x-1)) = 2
- 3 + 4 / (x-1) = 4
- 4 / (x-1) = 1
- x-1 = 4
- x = 5
Önemli: Merdivenli işlemlerde işlem önceliğine dikkat etmek çok önemlidir. Bilinmeyenli denklemlerde ters işlem mantığıyla ilerlemek çözümü kolaylaştırır.
24:00Merdivenli Rasyonel Sayı Problemi Çözümü
- Merdivenli rasyonel sayı problemlerinde, en alttan başlayarak veya en karmaşık kısımdan başlayarak işlem yapılır.
- İşlem basamakları tersten takip edilerek bilinmeyen (x) bulunur.
- Baloncuk yöntemi ile adımlar görselleştirilir.
Tahtadaki formüller
- 10 / (3 + 8 / (4 / (x+1) + 1)) = 2
- 4 / (x+1) = 3
- 4 = 3x + 3
- 1 = 3x
- x = 1/3
Önemli: Bu tür sorularda işlem önceliğine dikkat etmek ve tersten gitmek çözüm için kritiktir.
25:45Rasyonel Sayılarda Payda Eşitleme ve Özel Yöntemler
- Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri için paydalar eşitlenir.
- Paydaları farklı olan kesirlerin paydaları en küçük ortak katlarında eşitlenir.
- Özel durumlarda, paydaları aynı olan kesirler arasında oranlama yaparak daha hızlı çözüme ulaşılabilir (IBAN yöntemi).
Tahtadaki formüller
- 2/3 - 1/7 + 5/11
- -3/7 + 2 + 15/11
- 154 - 33 + 105 / (3 * 7 * 11)
- -33 + 154 + 105 / (7 * 11)
- 226 / (3 * 7 * 11)
- 226 / (7 * 11)
- (5/11) / (15/11) = 1/3
- (-1/7) / (-3/7) = 1/3
- (2/3) / (2) = 1/3
Önemli: IBAN yöntemi, paydaları aynı olan kesirlerin oranlarının eşit olması durumunda doğrudan cevabı verir.
30:35A Cinsinden Değer Bulma (Taraf Tarafa Toplama/Çıkarma)
- Verilen bir ifadenin başka bir ifade (A) cinsinden değerini bulmak için taraf tarafa toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
- Paydaları aynı olan kesirlerin payları toplanarak veya çıkarılarak tam sayı elde edilip edilmediğine bakılır.
- Eğer tam sayı elde ediliyorsa, bu yöntem genellikle doğru çözüme götürür.
Tahtadaki formüller
- A = 5/7 - 2/3 + 1/2
- B = 9/7 + 8/3 - 5/2
- A + B = (5+9)/7 + (-2+8)/3 + (1-5)/2
- A + B = 14/7 + 6/3 - 4/2
- A + B = 2 + 2 - 2
- A + B = 2
- B = 2 - A
Önemli: Bu tür sorularda, paydaları aynı olan kesirleri bir araya getirerek tam sayı elde etmeye çalışmak çözümün anahtarıdır.
35:58Çarpım Durumundaki İfadelerde Sıfır Faktörü
- Çarpım durumunda olan çok sayıda terim içeren ifadelerde, terimlerden birinin sıfır olup olmadığına dikkat edilmelidir.
- Eğer terimlerden biri sıfır olursa, çarpımın sonucu doğrudan sıfır olur.
- Sıralı giden terimlerde, eksi değerlerden artı değerlere geçiş sırasında mutlaka sıfır terimi oluşur.
Tahtadaki formüller
- (1 - 71/2) * (1 - 70/2) * ... * (1 - 1/2)
- (-69/2) * (-68/2) * ... * (0/2) * ... * (1/2)
- Sonuç = 0
Önemli: Çarpım durumundaki ifadelerde '0' teriminin varlığı, işlemin sonucunu doğrudan '0' yapar.
36:00Tam Sayılı Kesirlerin Dönüştürülmesi
- Verilen bir kesri tam sayılı kesre çevirerek bilinmeyenleri bulma yöntemi.
- Örnek olarak 21/17 kesri 1 tam 4/17 olarak yazılabilir.
- Bu ifade daha sonra 1 + 1 / (17/4) şeklinde dönüştürülebilir.
Tahtadaki formüller
- 21/17 = 1 + 4/17
- 1 + 4/17 = 1 + 1 / (17/4)
Önemli: Bu tür sorular temel işlem yeteneğini ve kesirleri farklı şekillerde ifade etme bilgisini ölçer.
37:37Kesir İçindeki Kesirleri Tam Sayılıya Çevirme
- 17/4 kesri 4 tam 1/4 olarak yazılabilir.
- Bu dönüşüm, verilen ifadenin yapısına uyum sağlamak için yapılır.
- İfadeyi 1 + 1 / (4 + 1/4) şeklinde yazarak A, B ve C değerleri belirlenir.
Tahtadaki formüller
- 17/4 = 4 tam 1/4
- A + 1 / (B + 1/C) = 1 + 1 / (4 + 1/4)
Önemli: Adım adım dönüşüm yaparak bilinmeyenleri eşleştirme mantığı önemlidir.
38:00Rasyonel Sayılarda Denklem Çözümü ve Tam Sayı Koşulu
- A ve B tam sayı ise, 1/(A+B-6) + 1/(A-B-2) = 1 denkleminde paydaların tam sayı olması gerekir.
- İki kesrin toplamının 1 olması için, her bir kesrin 1/2 olması gerekir (yarım + yarım = tam).
- Bu durumda paydalar 2'ye eşitlenerek A ve B değerleri bulunur.
Tahtadaki formüller
- 1 / (A+B-6) + 1 / (A-B-2) = 1
- A+B-6 = 2
- A+B = 8
- A-B-2 = 2
- A-B = 4
- 2A = 12
- A = 6
- B = 2
- A * B = 12
Önemli: Tam sayı koşulu verilen rasyonel denklemlerde, kesirlerin toplamının bir tam sayıya eşit olması durumunda, paydaların da tam sayı olması gerektiği unutulmamalıdır.
38:27A, B, C Değerlerinin Bulunması ve Toplamı
- Eşleştirme sonucunda A=1, B=4, C=4 bulunur.
- Soruda istenen A+B+C toplamı 1+4+4 = 9 olarak hesaplanır.
- Bu yöntem, karmaşık kesirli ifadelerin basit doğal sayı bileşenlerine ayrılmasını sağlar.
Tahtadaki formüller
- A=1
- B=4
- C=4
- A+B+C = 1+4+4 = 9
Önemli: Bu tip sorular genellikle KPSS, YKS gibi sınavlarda rasyonel sayılar konusunda karşımıza çıkar.